Главная
Шпаргалка: Векторная алгебра
Шпаргалка: Векторная алгебра
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами:
операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a
к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:
a+b=b+a (коммутативность)
(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)
a + 0=a (наличие нулевого элемента )
a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),
где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b
называют вектор x такой, что x+b=a.
Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a|
и
который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную,
если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то
la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:
l*(a+b)=
l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения
векторов)
(l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения
чисел)
l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность)
1*a=a (умножение на единицу)
Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на
число образует векторное пространство (линейное пространство).
В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно
зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно
отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:
aa+bb+…gc=0. (1)
Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для
линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы.
Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более
двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.
Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3 трехмерного
пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:
a=a1e1+a2e2+a3e3.
Числа a1,a2,a3 называют координатами
(компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}.
Два вектора a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны тогда и только
тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} ,b¹0, является пропорциональность их
соответствующих координат: a1=lb1,a2=lb2,a3=lb3. Необходимым и
достаточным условием компланарности трех векторов a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3} и c={c1,c2,c3} является равенство :
| a1 a2 a3
|
| b1 b2 b3| = 0
| c1 c2 c3
|
Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны суммам соответствующих
координат: a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}. Координаты
произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l
:
lа= {lа1,la2, la3}.
Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:
(а, b) = | а |*| b
| cosj.
За j принимается угол между векторами, не
превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает
свойствами:
(a, b)= (b, а) (коммутативность),
(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),
l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность
относительно умножения на число),
(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.
Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов
в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :
a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}
заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:
(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3
Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}
может быть вычислен по формуле:
где и
Косинусы углов вектора a={a1,a2,a3} с векторами базиса i,
j, k
называют. направляющими косинусами вектора а:
, , .
Направляющие косинусы обладают следующим свойством:
cos2a+cos2b+cos2g=1
Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е
а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а
на вектор е. Проекции обладают свойствами:
Пр. е (a+b)=
Пр. е a+ Пр. е b (аддитивность),
Пр. е a = Пр. е la (однородность).
Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю
из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c -
левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы
правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
b b
c c
a a
правило левой руки правило правой руки
Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .
Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb
ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения
от a к k:
aVb=| a || b |*sinj
Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:
aVb=-bVa (антикоммутативность),
aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),
l(aVb)=laVb (сочетательность
относительно умножения на число),
aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.
Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1,a2} {b1,b2}, то :
aVb=a1b1-a2b2.
|