Главная
Шпаргалка: Ряды
Шпаргалка: Ряды
Ряды
Фун 2 числовых аргументов.
Пусть имеется Е (х1;у1) –
элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в
соот-е число Wi
или любой точке (xi;yi) или паре чисел
ставится в соот-е zi
след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е
значения zi=F(хi;уi).
Пусть точка (х0;у0)ÎЕ
дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек (х;у)
удовлетвор-х нерав-у
Ö[(х-х0)+(y-y0)] <d.
Точка (х0;у0) наз внутренней
точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе
с точкой Î
этому множеству.
Точка (х0;у0) наз граничной
точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой
точки, которая Î
множ Е.
Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей
множ-а Е.
Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми,
т.е. безграничным.
Точка (х0;у0)Î
множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в
которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.
Фун 2 переменных.
Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др
от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е
величины z, то мы
говорим, что z есть
фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.
Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты
которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х
и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2
переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на
плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает
поверхность z=f(х;у) не более чем в одной
точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.
Обл опред-я фун 2 переменных – это
совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).
Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл
определения.
Предел фун 2 переменных.
Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при х®х0, у®у0,
М(х;у)®М0.
limх®х0 (у®у0)f(х;у)=A
Если для любого e>0
сущ-ет d
окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех (х;у)Îd
окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х0)2+(y-y0)2] <d.
êА-f(х;у)ê<e, A-e<f(х;у)<A+e.
Основные теоремы о пределах:
1)lim
Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn;
Xn
± Yn = (a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).
2)limXnYn
= lim Xn * lim Yn (n®¥).
3)lim
Xn=a, lim Yn=b (n®¥)
=> lim Xn/Yn =
(lim
Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).
Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1
переменной.
Непрерывность фун в точке.
Опр: Пусть точка М0(х0;у0)
Î
обл опр-я фун-и f(х;у).
Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в
точке М0(х0;у0), если имеет место
равенство limх®х0(у®у0)f(х;у)=f(х0;у0) или limDх®0(Dу®0)f(х0+Dх;у0+Dу)= f(х0;у0),
где х=х0+Dх
и у=у0+Dу,
причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0)
произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.
Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные
пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со
всех сторон =f(x0;у0).
Если (х0;у0) точка разрыва и
выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.
Если (х0;у0)–1 род и
выполняется условие 3, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и
не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.
Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у)
и f2(х;у) непрерывны в точке (х0;у0), то сумма
(разность) f(х;у)=f1(х;у)±f2(х;у),
произведение f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у),
а также отношение этих функций f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у),
есть непрер-я фун в точке х0;у0.
Док-во (суммы): По определению получаем, что limх®х0(у®у0)f1(х;у)=f1(х0;у0),
limх®х0(у®у0)f2(х;у)=f2(х0;у0) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b =>
lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥),
можем написать: limх®х0(у®у0)f(х;у)=limх®х0(у®у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=
=limх®х0(у®у0)f1(х;у)+limх®х0(у®у0)f2(х;у)=
=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0).
Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в
которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х0;у0,
а фун y=f(z) непрерывна
в соот-й точке z0=j(х0;у0), то
фун y=f(j(х;у))
непрер-а в точке (х0;у0).
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого
интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом
интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого
интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна
на замкнутом интервале или отрезке (а,в).
Точки разрыва.
Если в некоторой точке N(х0;у0) не
выполняется условие limх®х0(у®у0)f(х;у)= f(х0;у0), то точка
N(х0;у0)
наз точкой разрыва фун z=f(х;у).
Условие limDх®0(Dу®0)f(х0+Dх;у0+Dу)=f(х0;у0)
может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у)
определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), за
исключением самой точки N(х0;у0);
2)фун z=f(х;у) определена во всех точках
некоторой окрестности точки N(х0;у0),
но не сущ-ет предела limх®х0(у®у0)f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках
некоторой окрестности точки N(х0;у0)
и сущ-ет предел limх®х0(у®у0)f(х;у), но limх®х0(у®у0)f(х;у)¹f(х0;у0).
Классификация точек разрыва:
Если (х0;у0) точка разрыва и
сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 1
род.
Если (х0;у0) – 1 род, сущ-ют
конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв
устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и
не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 2
рода.
Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в
замкнутой области.
Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой
замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.
Св-ва: 1)Если фун f(x;y…)
определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х0;у0…)
такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х0;у0…)³f(х;у) и по крайней мере одна
точка `N(`х0;`у0…)
такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х0;`у0…)£f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная
фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень
значения m.
2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и
ограниченной обл D и
если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа m, удовл усл m<m<М, найдется в обл
такая точка N*(x*;y*…), что будет
выполн рав-во f(x*0;y*0…)=m.
Следствие из св2: Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой огран обл и
принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся
точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.
Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.
Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда
z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x. ∆xz=f(x+∆x,y)-f(x,y)
Аналогично частное приращение по y ∆yz=f(x,y+∆y)-f(x,y).
Частные производные. Опр: Частной производной
по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆xz
к приращ-ю ∆x при ∆x®0.
∂z/∂x=lim(∆x®0)∆xz/∆x=lim(∆x®0)(f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x.
Аналогично частная производная по y.
∂z/∂y=lim(∆y®0)
∆yz/∆y=lim(∆y®0)(f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y.
Част диф-л фун: dxz(x;y)=[(¶z/¶x)*Dx] и dуz(x;y)=[(¶z/¶у)*Dу].
Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.
Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y
приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным
приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).
Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные
производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л
dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y.
Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой
в т. (x0,y0), если её полное приращение ∆z
можно представить в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(r),
где r=Ö(∆x2+∆y2),
т.е. lim(Dх®0,Dу®0,r®0)0(r)/r=0
бесконечная величина более высокого порядка малости, чем r.
(A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x ,∆y.
Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0,y+∆y)»f(x,y)+[¶f(x,y)/¶x]*Dx+[¶f(x,y)/¶y]*Dy.
Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y)
диффер-ема в т.(x0,y0), то сущ. конечные частные
производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0, y=y0.
A=∂z(х0;у0)/∂x; B=∂z(х0;у0)/∂y.
Достаточное усл диф-ти: Если функция
z=f(x,y) в т.(x0,y0) и в нек. окресности непрерывна и
имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то
ф-ия диф-ма.
Производные высших порядков.
∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная:
∂φ/∂x=∂2z/∂x2;z``xx
здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;
∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z``xy;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z``yx;
∂φ/∂y=∂2z/∂y2;z``yy;
Третья производная: ∂3z/∂x3;
∂3z/∂x2∂y; ∂3z/∂x∂y¶х;
∂3z/∂y∂x2; ∂3z/∂y∂x∂y;
∂3z/∂y2∂x; ∂3z/∂y3.
Производная сложной ф-ии.
z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у)
и v=y(х;у).
Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v
диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y).
z=f(x;u;v)=F(x)
Полная производная по х:
dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);
Полная производная по у:
dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);
Экстремумы фун 2 переменных.
Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в
точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)>
f(x,y) {f(x0,y0)<f(x,y)} для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x0,y0)
и отличных от неё.
Определение max и min
при предположении, что х=х0+Dх и у=у0+Dу,
тогда
f(x;y)-f(x0;y0)=f(х0+Dх;у0+Dу)-f(x0;y0)=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно
малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y)
достигает max в точке М0(х0;у0);
2)Если Df>0 при всех достаточно малых
приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х0;у0);
Необходимое усл экстремум: Если функция
z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0, y=y0, то каждая
частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих
значениях аргументов, или не сущ.
Док-во: Действительно, дадим переменному y
определённое значение, а именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0)
будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум,
то следовательно (∂z/∂x) при x=x0,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ,
что (∂z/∂у) при x=x0, y=y0 или равно нулю или не сущ.
Достаточное усл экстемум: Пусть в нек.
Области, содержащей т.M(x0,y0), функция f(x,y) имеет
непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме
того т.M(x0,y0) является критической точкой функции
f(x,y) т.е. ∂f(x0,y0)/∂x=0, ∂f(x0,y0)/∂y=0.
Тогда при x=x0, y=y0:
1)f(x,y) имеет максимум, если
∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0 и
∂2f(x0,y0)/¶x2<0
2)f(x,y) имеет максимум, если
∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0 и
∂2f(x0,y0)/¶x2>0
3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.
∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2
f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2<0
4)Если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2=0,
то экстремум может быть, а может и не быть.
Неявнозаданная функция и нахождение ее
производной.
Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная
неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой
области D что при подстановке получаем
тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢x=0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)];
Продифф.
аналогично по у ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)]
Двойной интеграл.
Рассмотрим в
плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D
задана непрерывная функция z=f(x,y).
Разобьем D на n частей(DS1,DS2,DS3…DSn). На каждой площадке возьмем по точке Pi
(P1,P2,P3…Pn). f(Pi) –
значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi)DSi.
Vn=nåi=1f(Pi)DSi
– это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.
Опр:
Предел limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi
интегральной суммы nåi=1f(Pi)DSi,
если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек PiÎDi наз двойным
интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.
Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi
т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по
данной области. limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi=óóD f(x;y)dxdy=(или)= =óóD f(x;y)dS/¶
Св-ва:
1)óóD(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóDf1(x,y)dxdy+óóDf2(x,y)dxdy
2) ó óDa f(x,y)dxdy=aó óD f(x,y)dxdy.
3) Если область D=D1ÈD2, то
ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).
Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2.
ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi
, где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая –
соот-е площадкам обл D2.
В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы
производим разбиение области D
так, что общая граница областей D1
и D2 яв-ся
границей площадок DSi. Переходя в равенство
ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi
к пределу при DSi®0,
получаем равенство
ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).·
4) Если фун f(x,y)=1, то ó óD1dxdy=SD
5) Если фун в
данной области f(x,y)³(£)0,
то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть
ó óD f(x,y)dxdy³(£)0
6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то
óóDf1(x,y)dxdy³óóDf2(x,y)dxdy
7)Теорема о
среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S
равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.
вó а ( j2(x)ó j1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.
Док-во: Из соот-я
mS£вóа(j2(x)ój1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID£MS. Число 1/S*ID
заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в
некоторой точке P обл D принимает
значение равное 1/S*ID .
Двукратный интеграл
Пусть дана область
D такая, что любая прямая параллельная одной из осей
пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)). Пусть
f(x,y) непрерывна в области D.
Рассмотрим ID=вóаf2(x)óf1(x)f(x,y)dydx=вóаФ(х)dx
-это двукратный
интеграл.
Вычисление двойного интеграла есть вычисление
двукратного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в полярных
координатах:
óóDf(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½=
=óóDf(pcosj;psinj)pdpdj=
=j2ój1 dj p2(j)óp1(j)(pcosj ;psinj)pdp.
Геометрическое приложение двойного интеграла.
Площадь плоской
поверхности.
óóD f(x,y)dxdy=SD
2) Объем
цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма
DVi=nåi=1f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных
параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.
limmax di®0nåi=1f(xi,yi)*DSi=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил
Площадь
поверхности.
Sпов.=
óó[Ö1+(dz/dx)2+(dz/dy)2dxdy].
Диф-е ур-я (осн понятия).
Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0. Наивысший порядок производ-й
в ур-и F(x;y;y’;у”…уn)=0
наз порядковым ур-ем.
Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая фун вида у=j(х),
которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0
вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”…
j(х)n)=0.
Фун вида у=j(х;С1;С2;…Сn)
наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0,
если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn;
2) для любых начальных усл х0, у0, у’0,
уn0 можно
найти конкретную совокупность С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=j(х;С1
0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что эта фун будет удвл
начальному условиям.
Соот-е вида j(х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при
решении ур F(x;y;y’;у”…уn)=0
наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn)=0
(т.е. решение ур находиться в неявной форме).
Дифф. ур. 1-го порядка
Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз.
любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в
тождество.
Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением, если
она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y=
j(x,C0) удов. начальным усл-ям.
Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее
реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я.
Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение
С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным
интегралом ур.
Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:
1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x)
{f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0
∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C
– общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0,
то линейное уравнение y’+p(x;y)=0.
Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;
2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx
(подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-∫Pdx
V=
C1e–∫Pdx и
подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
V(x)= e–∫Pdx, где ∫Pdx - какая-нибудь
первообразная
V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x)
Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)
y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n¹0,1.
Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим
преобразованием.
Разделим на yn с наибольшим значением n, получим
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, Сделаем далее замену z=(y–n+1), тогда dz/dx=(-n+1)(y-n)y’. Подставляя эти значения в ур-е
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е
dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q
Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y–n+1), получим общий
инт. ур.Бернулли
Однородные ур-я
Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)
–однородная нулевого измерения или порядок
однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t0)f(x;y).
Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности,
если вып. усл. f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где
k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=j(U) (dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=[∫dU/(j(U)-U)] + C Þ
вместо U подст. y/x и получим общий инт.
Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.
Дифф. ур. 2-го порядка
Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз. любая
фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в
тождество F(x;j(x);j’(x);j’’(x))=0
Общим
решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn;
2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20) будет удов.
заданному нач. ур-ю, т.е.
j(x0;С10;С20)=y0 ,
j’(x0; С10;С20)=y0’
Линейные дифф. ур-я 2-го порядка
Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)
Если f(x)=0
следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)
– линейное однородное урав.
Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.
1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е.
нельзя одну вырозить через др, т.е.
y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур
(2) y=C1y1+C2y2
2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e–∫P(x)dx)]/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2
3) y1
находим подбором.
Структура общего реш. неоднородного ур.
1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур.
2)Метод вариации произ. постоянной
y*=
C1(x)y1+C2(x)y2
3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.
сист. ур-ий. 0
y2
C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0
Þ C1’(x)= f(x) y2’
C1’(x)y1’+
C2’(x) y2’=f(x)
y1 y2
y1’ y2’
Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx
y1 0
C2’(x)=
y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx
y1 y2
y1’ y2’
Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.
Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1, y2 – два лин-но
незав. реш.
(1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф.
ур-ие 2ого порядка.
y=ekx k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие
ур-ия (1).
Рассмотрим 3 случия:
1. D>0,
k1,2=(-p±Ö(p2-4q))/2, k1¹k2 y1=ek1x, y2=ek2x.
Т.к. y1/y2¹const, то y=c1 ek1x+c2
ek2x.
2.
D=0 k1,2=-p/2
y1=e-px/2,
y2=y1∫(e--∫pdx)/y12dx=e-px/2,
y=e-px/2(c1+c2x).
3.Когда
корни комплексные, т.е. D<0, k1,2=a±bi, y1=eaxCosbx, y2=eaxSinbx, y1/y2¹const, y=eax(c1Cosbx+c2Sinbx)
Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.
1. f(x)=Pn(x)eax 1) a - не
явл-ся корнем хар. ур-ия
y*=(A0xn+A1xn-1
++...+An)=Qn(x)eax.
a -
однократный корень y*=xQn(x)eax.
3) a -
двукрат. корень y*=x2Qn(x)eax.
2.
f(x)=p(x)eaxCosbx+q(x)eaxSinbx
1) a+bi
– не корень y*=U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx.
2)
a+bi – корень y*=x[U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx].
3.
f(x)=MCosbx+NSinbx
1)bi – не корень, y*=ACosbx+BSinbx.
2)bi – корень, y*=x(ACosbx+BSinbx).
РЯДЫ
Числовые ряды. Основные определения.
Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2...Un,... Выражение U1+U2+...+Un+... наз-ся числовым
рядом,
U1,
U2...Un – члены ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся
n-ой
частичной суммой ряда: Sn=
U1+U2+...+Un.
Если сущ-ет конечный предел limn®¥Sn=S, то этот предел наз суммой ряда.
Если предел limn®¥Sn равен ¥
или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.
Если сущ-ет предел limn®¥Sn, то ряд
сходится.
Некоторые очевидные свойства числовых рядов:
1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет
отбрасывание конечного числа его членов.
Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов, Dn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn=Ck+Dn-k, где Ck – постоянное
число, не зависящее от n.
Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и limSn; если сущ-ет
lim Sn, то сущ-ет limDn-k, а это доказ-ет
справедливость теоремы.
2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+...(1) сходится, и его
сумма равна S, то ряд ca1+ca2+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна
сS.
Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда (2) –
через Dn.
Тогда Dn=ca1+...+can=c(a1+...+an)=cSn.
Отсюда ясно, что передел n-ой
частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.
lim
Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д.
3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+...(5) и b1+b2+...(6) сходятся, и их
суммы, соответственно, равны S1и
S2, то ряды
(a1+b1)+(a2+b2)+...(7) и (a1–b1)+(a2–b2)+...(8) также
сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1+S2
и
S1–S2.
Док-во: док-ем сходимость ряда (7).
Обозначая его n-ую
частичную сумму через Dn,
а n-е частичные суммы
рядов (5) и (6) соответственно через S1n
и S2n, получим: Dn=(a1+b1)+...+(an+bn)=(a1+...+an)+(b1+...+bn)=S1n+S2n. Переходя к в этом равенстве к
пределу при n®¥:, получим limDn=lim(S1n+S2n)= limS1n+limS2n=S1n+S2n.
Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n.
4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд
сходится, то limUn=0
n®¥.
Док-во: пусть ряд U1+U2+...+Un+... сходится, т.е. limSn=S n®¥, тогда имеет место равенство
limSn-1=S.
limSn–limSn-1=0,
lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д.
Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.
1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+...+Un+...(1), S1n; V1+V2+...+Vn+...(2) S2n; Известно,что Vn³Un при n³N0.
если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;
если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.
Док-во:
Из сходимости ряда (2) следует, что $ lim S2n=S. S1n=U1+U2+...+UN0+UN0+1+...+Un=SN0+VN0+1+...+Vn. limS1n=lim(SN0+Dn-N0)=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть,
ограниченная числом SN0+D => $ lim S1n=Sn1.
2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L¹0,¥
при n®¥, то ряды ведут себя
одинаково.
3) Признак Даламбера. Если $ lim(Un+1/Un)=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1)
пусть L<1.
Рассмотрим число q,
удовл. соотнош L<q<1. Из определения
предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n³ N,
будет иметь место нер-во (Un+1/Un)<q (2’).
Действительно, т.к. величина Un+1/Un стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого
номера N) по
абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.
| Un+1/Un – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во
(2’). Записывая нер-во (2’) для различных значений n, начиная с номера N, получим UN+1<qUN,
UN+2<qUN+1<
q2UN
Рассмотрим теперь два ряда:
U1+U2+...+UN+Un+1+...
(1)
UN+qUN+q2UN+... (1’). Ряд (1’)
есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с
UN+1,
меньше членов ряда (1’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2)
Пусть L>1. тогда из
равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с
некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены
ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд
расходится.
4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limnÖUn=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.
Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1.
Начиная с некот n=N, будет иметь место
соотношение
| nÖUn–L|<q–L; осюда следует, что nÖUn<q или Un<qn для всех n³N. Рассмотрим теперь два
ряда: U1+U2+...+UN+UN+1+...
(1) и qN+qN+1+qN+2+...
(1’). Ряд (1’) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом
прогр. Члены ряда (1), начиная с UN, меньше членов ряда (1’). Значит, ряд
(1) сходится. 2) Пусть L>1.
Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: nÖUn>1 или Un>1. но если
все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член
не стремится к нулю.
5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥ån=1Un, где члены ряда убывают Un>Un+1>0.
Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥]
непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.
Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.
Знакочередующиеся ряды.
Под знакочередующимся рядом понимается ряд,
в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.
Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3…
и предел его общего члена при n®¥ равен 0
(Lim n®¥
Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1³S.
Д: Рассмотрим
последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:
S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m).
Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании
признака существования придела последовательность S2m имеет предел Limm®¥S2m=S. Переходя к пределу в
неравенстве S2m<U1 при m®¥,
получим, что U1³S. Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа
членов при n= 2m+1. Очевидно, что S2m+1=S2m+A2m+1; Поэтому учитывая необходимый
признак сходимости ряда, Lim m®¥
S2m+1=
=Limm®¥
S2m+ Lim m®¥
А2m+1=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim n®¥
Sn=S, т.е. ряд сходится.
Знакопеременные ряды.
Пусть U1+U2+U3….+Un+
знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как
положительным, так и отрицательным.
Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного
ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и
если ряд ¥ån=1½Un½; |U1|+|U2|+…+|Un|+…(1), сходится и наз
абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.
Д: Обозначим Sn+ и Sn-
суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком
плюс и минус. Тогда частичная сумма
данного ряда Sn1=Sn+-Sn- , а
ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn2= Sn++Sn-
. По условию ряд (1) сходится, значит
сущ-т конечный предел Limn®¥Sn2=S. Последовательности Sn+ и Sn-
являются возрастающими и ограниченными (Sn+ ≤ S Sn- ≤ S ), значит существуют пределы
Limn®¥Sn+ и Limn®¥Sn-, и
соответственно предел частичной суммы данного ряда
Limn®¥Sn1=Lim n®¥Sn+ -Lim n®¥
Sn- ,
т.е. ряд (*) сходится.·
Если ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…сходиться, то
ряд U1+U2+U3….+Un+ наз абс.
сходящимся.
Если ряд U1+U2+U3….+Un+ сходиться, а ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…расходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз усл. сходящимся.
Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1+U2+U3….+Un+ абс сходиться, то на
сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.
Степенные ряды.
C0+C1X+C2X2+…+CnXn..-степенной
ряд (*)
Св-ва:
1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X0≠0,
то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0|,
2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1, то он расходится при всех
значениях Х таких что |Х|>|Х1|.
Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0≠0,
следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Limn®¥Un=Limn®¥CnX0n=0. Значит
последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ.
Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |CnX0n|<M.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)
|С0|+ |C1X0||Х/X0|+…+ |CnX0n||X/X0|n+…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда
М+М|Х/X0|+…+М|X/X0|n+… представляющего геометрический
ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0|<1, т.е.
при|X|<|X0|, на основании
признака сравнения ряд (*) сходится.
2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1|
ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1
(т.к. |X|>|X1|), что
противоречит условию.·
Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при
│Х│<R
ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости
степенного ряда.
2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а
следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на
этом отрезке.
4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и
а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+…
сходяться равномерно.
5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.
Функциональные ряды
Ряд U1+U2+..+Un+.. называется функциональным,
если его члены являются функциями от Х.
Рассмотрим функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при
которых функциональный ряд сходится, называют
областью сходимости этого ряда.
Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) есть сумма ряда Un+1(x)+Un+2(x) +…, т.е. rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +… В этом случае величина rn(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области
сходимости ряда имеет место соотношение Limn→∞
rn(x)= Limn→∞[S(x)-Sn(x)]=0,
т.е. остаток rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю при
n→∞.
Функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+.. (1)
называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если
существует такой сходящийся числовой ряд а1+а2+а3+…+аn..(2) с положительными
членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения
│U1(x)│≤a1,…,│Un(x)│≤an ,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если
каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го
сход. ряда с полож. членами.
Ряд Тейлор.
Для ф-и F(x)
имеющей все производные до (n-1)
порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора:
f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a)2/2!]+…
…+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x), (1) где остаточный член Rn(х)={[(x-a)n+1]/[(n+1)!]}f(n+1)[a+q(x-a)], где 0<q<1.
Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n®¥ остаток ряда стремился к 0,
т.е. Rn(x)®o. Переходя в формуле (1) к
пределу при n®¥,
получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:
f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+…+fn(a)[(x-a)n/n!]+…
Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим
ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x2/2!]+…
…+fn(0)[xn/n!]+….
Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:
ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+…
(-¥;¥)
sinX=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+… (-¥;¥)
cosX=1-x2/2!+x4/4!-…+[(-1)nX2n]/(2n)!+… (-¥;¥)
(1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)*
*(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+… (-1;1)
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+[(-1)nxn+1]/(n+1)+.. (-1;1]
1/(1-x)=1+x+x2+…+xn+..
1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+…
arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+…+[(-1)n+1x2n-1]/2n-1+…
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта http://www.shpori4all.narod.ru/
|