Главная
Шпаргалка: Решение смешанной задачи для уравнения
Шпаргалка: Решение смешанной задачи для уравнения
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.
КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра прикладной и высшей математики
Лабораторная работа № 43
на тему:
Решение смешанной задачи для уравнения
гиперболического типа методом сеток
Группа М-2136
Курган 1998
Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = c 2
* ( ¶ 2u/ ¶ x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t)
удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t £ T, начальным
условиям u(x,0) = f(x), ¶ u(x,0)/ ¶ t = g(x) , 0 £ x £ a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.
Так как замена переменных t ® ct приводит уравнение (1) к виду ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = ( ¶ 2u/
¶ x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.
Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = (x,t) сетку xi = ih, i=0,1 ... n , a = h * n, tj
= j* ttt , j = 0,1 ... , m, t m = T и аппроксимируем
уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.
t
T
j+1
j
j-1
0 i-1 i i+1
|
Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем
следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .
ui,j+1 - 2uij + ui,j-1 ui+1,,j - 2uij + ui-1, j
t 2 h2
|
(4)
Здесь uij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).
Полагая, что l = t / h , получаем трехслойную разностную схему
ui,j+1 = 2(1- l 2 )ui,j + l 2 (ui+1,j- ui-1,j)
- ui,j-1 , i = 1,2 ... n. (5)
Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. m 1(t)
º 0, m 2(t) º 0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0, unj=0
для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить ui,j
через значения u с предыдущих двух слоев.
Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui,j решения
u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j =
2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение
известно из начального условия ui0 = f(xi).
Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший
способ, состоящий в том, что если положить ¶ u(x,0)/ ¶ t » ( u( x, t ) - u(x,0) )/
t (6) , то ui1=ui0+ + t (xi),
i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с
двух предыдущих слоев по формуле (5).
Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( t +h2). Невысокий порядок аппроксимации по t объясняется использованием слишком грубой
аппроксимации для производной по е в формуле (6).
Схема устойчива, если выполнено условие Куранта t < h. Это означает, что малые
погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою.
При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при h ® 0 решение
разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.
Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x ,
появляется ограничение на величину шага t по переменной t . Если необходимо
произвести вычисление для большого значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной t. Указанный гнедостаток характерен для
всех явных разностных схем.
Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки.
Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной схеме (5)
предназначена часть программы, обозначенная Subroutine GIP3 Begn ... End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с
двух предыдущих слоев.
Входные параметры :
hx - шаг сетки h по переменной х;
ht - шаг сетки t по переменной t;
k - количество узлов сетки по x, a = hn;
u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на ( j - 1 ) временном
слое, j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на j - м временном слое, j
= 1, 2, ... ;
u3 - рабочий массив из k действительных чисел.
Выходные параметры :
u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из j - м временном слое, j
= 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из ( j +1) - м временном
слое, j = 1, 2, ... .
К части программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin ... End происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе элементам массива
u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При выходе из подпрограммы
GIP3 в массиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.
Порядок работы программы:
1) описание массивов u1, u2, u3;
2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая условие Куранта;
3) присвоение начального значения решения элементам массива и вычисленное по формулам (6)
значение решения на первом слое;
4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое ( k ³ 2 ).
Пример:
Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение
которой изображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с шагом
t по t, равным 0.05, провести вычисления для 16 временных слоев с печатью результатов на каждом слое. Таким образом,
задача имеет вид
( ¶ 2 u/ ¶ t2) = ( ¶ 2 u/
¶ x 2) , x Î [ 0 , 1 ]
, t
Î [ 0 , T ] ,
u ( x , 0 ) = f (x) , x Î [ 0 , a ], ¶ u(x,0)/ ¶ t = g(x) ,
x Î [ 0 , a ],
u ( 0 , t ) = 0, u ( 1 , t ) = 0, t Î [ 0 , 0.8 ],
æ 2x , x Î [ 0 , 0.5 ] ,
f(x) = í g(
x ) = 0
î 2 - 2x , x Î [ 0.5 , 1 ] ,
Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по t. Программа, и результаты
вычисления приведены далее.
|