Главная
Шпаргалка: Математика (билеты)
Шпаргалка: Математика (билеты)
Математика
(билеты)
(шпаргалка)
Билет№1
1)Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число Т, не
равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения функции
выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция (синусоиду нарисуешь сам (а))
Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным
периодом является число T=2P.
Для построения графика периодической функции достаточно построить часть графика
на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос этой
части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…
2)Степенью
числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m-целое
число;n-натуральное, больше
1) называется число nSQRa^m, т.е. a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для
положительных показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным показателем Для любых
рациональных чисел r иs и любых положительных a и b справедливы следующие свойства. 1)
Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же
основанием и показателем, равным сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s.
2) Частное
степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и
показателем, равным разности показателей делимого и делителя: a^r : a^s = a^r-s.
3) При
возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели
перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень
произведения равна произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень частного равна частному степеней
(a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r рациональное число и число a больше нуля, но меньше числа b, 0<a<b, тогда: a^r < b^r ,
если r- положительное
число; r^r > b^r, если r-отрицательное число.7) Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r<s следует, что: a^r <a^s
при a>1 ; a^r > a^s при 0<a<1.
Докажем свойство 2 Пусть r=m/n и s=p/q, где n и q – натуральные числа, а m и p – целые числа. По определению степени
с рациональным показателем имеем: a^m/n : a^p/q = nSQRa^m : qSQRa^p. Приведём корни к одному показателю. Для этого
воспользуемся свойством корней n-й степени: nSQRa = nrSQRa^r, r>0. Имеем: nSQRa^m : qSQRa^p = nqSQRa^mq : nqSQRa^pn =
nqSQRa^mq / nqSQRa^pn Используя свойство частного корней, получим: nqSQRa^mq / nqSQRa^pn =
nqSQRa^mq / a^pn = nqSQRa^mq-pn. Применим определение степени с
рациональным показателем: nqSQRa^mq-pn = a^mq-pn/nq =
a^mq/nq-pn/nq =
a^m/n-p/q = a^r-s.
Билет №2
1)Точка Х0
наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполнено
неравенство f(x)£f(x0)
Окрестностью
точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий
эту точку.
Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0.
Точка х0 наз-ся
точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено
неравенство f(x0) £f(x)
Например,
функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0.
2)1)Если |a|>1 то уравнение sinx=a корней не имеет, так как |sinx|£1 для любого х.
2)Пусть |a|£1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает, следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a
имеет один корень x=arcsin a.
Б) На
промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x
убывает, значит по теореме о корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a.
В) учитывая
периодичность функции y= sin x
(период функции равен 2пи n) решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n
x=пи-
arcsin a +2пи n
решение данного
ур-ия можно записать в виде следующей формулы
x=(-1)^n
arcsin a + пи n
при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой , а при
нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй
формулой.
Билет №3
1)арксинусом
числа а называется число, для которого выполнены следующие два условия: 1)-p/2 <= arcsin a <= p/2; 2) sin(arcsin a)=a. Из втоого условия следует, что |a|<=1 Пример1. (рис 26) arcsinSQR3 / 2 = p/3, так как: 1) –p/2 <= p/3 <=p/2; 2)sin p/3= SQR3 / 2 Пример2. Arcsin SQR5/2 не имеет смысла, так как SQR5 / 2 >1, a arcsin a определён при –1 <= a <= 1 Определение Арксинусом числа а
называется такое число из отрезка [-Пи/2;Пи/2], синус которого равен а.
2)Если функция F-первообразная функции f на промежутке I, то функция y=F(x)+C (c-const) также является первообразной функции f на промежутке I. Любая первообразная функции f на промежудке I может быть записана в виде F(x)+C. Доказательство. 1) Воспользуемся определением первообразной: (F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x), следовательно, y=F(x)+C – первообразная функции f на промежутке I. 2) Пусть Ф и F- первообразные функции f на промежутке I.
Покажем, что разность Ф-F равна постоянной. Имеем
(Ф(x) –
F(x))’ = Ф’(x) – F'(x)=f(x)-f(x)=0,
следовательно, по признаку постоянства функции на интервале Ф(x)-F(x)=C. Значит любую первообразную можно записать в виде F(x)+C. Графики любых двух первообразных для функции y=f(x) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Ox (рис. 18)
Билет №4
1)Арккосинусом
числа а называется такое число, для которого выполнены следующие два условия:
1) 0<=arccosa<=p;
2)cos(arccos a)=a. Из условия 2 следует, что |a|<=1 Пример 1 (рис 28) arccos1/2=p/3, так как: 1)0<= p/3 <= p; 2) cos p/3 = ½. Пример 2. Arccos p не имеет смысла , так как p ~=3,14 > 1; arccos a
определён при |a|Б=1
2)Показательной
функцией называется функция вида y=a^x, где а- заданное число, а >0, a не равно 1. Свойства показательной
функции 1) Областью определения показательной функции являются все
действительные числа. Это следует из того, что для любого x принадлежащего R определено значение степени a^x (при a>0). 2) Множеством значений показательной функции являются все
положительные действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а) Показательная функция y+a^x возрастает на всей области определения, если a>1.
б) Показательная функция Y=a^x убывает на всей области определения, если
0<a<1. Докажем, что если a>1, то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует большее значение функции
(a^x2 > a^x1). Из свойств степени известно, если r>s и a>1, то a^r
>a^s. Пусть х2 > x1 и a > 1, тогда a^x2 >a^x1
(по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x1 при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что если 0
< a<1, то большему
значению аргумента (x2>x1) соответствует меньшее значение функции
(a^x2 < a^x1). Из свойств степени известно, если r>s и 0<a<1, то a^r<a^s.
Пусть x2>x1 и 0<a<1, тогда a^x2 < a^x1
(по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x при 0<a<1 убывает на всей области определения. 4) Нет таких значений аргумента, при
которых значения показательной функции равны нулю, т.е. у показательной функции
нет нулей. 5)Показательная функция непрерывна на всей области определения. 6) Показательная функция дифференцируема в каждой
точки области определения, производная вычисляется по формуле (a^x)’ = a^x ln a.
(график на рисунке 29)
Билет№ 5
1)На интервале
(-Пи/2;Пи/2) функция тангенс возрастает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале
(-Пи/2;Пи/2) существует единственный корень b уравнения tgx=a. Это число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctga.
Определение Арктангенсом числа а называется такое число из интервала
(-Пи/2;Пи/2) тангенс которого равен а.
Пример arctg1=Пи/4,
так как tgПи/4=1 и Пи/4Î(-Пи/2;Пи/2); arctg(-SQR3)=-Пи/3, так как tg(-Пи/4)=-SQR3 и –Пи/3Î(-Пи/2;Пи/2).
2)Логарифмической
функцией называется функция вида y = loga x,
где а -заданное число, a>0, a не
рано 1. Свойства логарифмической функции 1) Областью определения
логарифмической функции являются все положительные действительные числа. Это
следует из определения логарифма числа b по основанию a; loga b имеет смысл, если b>0 2) Множеством значений
логарифмической функции являются все действительные числа. Пусть y0 – произвольное действительное число.
Покажем, что найдётся такое положительное значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0
> 0. Мы показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение
логарифмической функции равно у0 (у0 – произвольное действительное число).
3) Логарифмическая функция обращается в
нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению логарифма получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая функция y=loga x возрастает на всей области определения, если a>1.Докажем, что большему значению
аргумента (х2 > х1) соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1), если a>1. Пусть x2 > x1
> 0; тогда используя основное логарифмическое тождество, запишем это
неравенство в виде a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два значения
показательной функции. Поскольку при a>1 показательная функция возрастает, большее значение
функции может быть только при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1. б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области определения, если 0<a<1. 5) Логарифмическая функция y=logax: а) при a>1 принимает положительные значения, если x>1; отрицательные значения, если 0<x<1 б) при 0<a<1
принимает положительные значения, если 0<x<1, и отрицательные значения, если x>1.
Пусть a>1,
тогда функция y=logax возрастает на всей области определения
(рис. 31); причём loga1=0.
Из этого следует, что: для x>1 logax > loga1, т.е. logax>0; для 0<x<1
logax < loga1, т.е. logax <0. Пусть 0<a<1; тогда функция y=logax убывает на всей области определения (рис.32); причём loga1=0. Из этого следует, что: для x>1
logax < loga1, т.е. logax < 0; для 0<x<1
logax > loga1, т.е. logax > 0. 6) Логарифмическая функция непрерывна
на всей области определения.
Билет №6
1)Пусть на
некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого промежутка; Dx – приращения
аргумента x; x0
+ DX также
принадлежит этому промежутку; Dy – приращение
функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению
аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной
функции в точке. Пусть материальная точка движется по координатной прямой по
закону x=x(t), т.е. координата этой точки x-
известная функция времени t. Механический смысл
производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть
скорость: v(t)
= x’(t).
2)1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos x|<=1 для любого x. 2) Рассмотрим случай |a|<=1(рис
35) а) На примежудке [0;Пи] функция y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a имеет один корень x=arccos a. Учитывается, что
функция y=cos x – периодическая с периодом 2Пиn,
запишем все решения уравнения cosx=a на промежутке [2Пиn;
Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде x = arccos a+ 2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На
промежутке [-Пи; 0] функция y =cosx возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень,
а именно,x=-arccos a. Учитывая
периодичность функции y= cos. Делаем вывод, что решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn],
где n принадлежит Z, являются числа
вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n принадлежит Z. Таким образом, все
ершения уравнения могут быть записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n принадлежит Z.
Билет № 7
1)Пусть на
некотором промежутке задана функция y=f(x); x0-точка этого промежутка; Dx-приращение
аргумента х; точка х0+ Dx принадлежит этому
промежутку; Dy-приращение функции. Предел отношения (если он существует)
приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к
нулю называется производной функции в точке.
Пусть задана дифференцируемая функция y=f(x) (рис.36).
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной
функции в точке x0 равно угловому коэффициенту
касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x0: f’(x0)=R, где R-угловой коэффициент касательной.
2)1) На промежутке (-Пи.2 ; Пи.2) функция y=tgx возрастает, значит, на этом промежутке, по теореме о
корне, уравнение tgx=a имеет один корень, а именно, x=arctg a (рис 37). 2) Учитывая, что период тангенса равен Пиn, все решения определяются формулой x=arctg a + Пиn, nпринадлежит Z.
Билет №8
1) Пусть ф-ция f(x) задана на некотором промежутке, а –точка этого
промежутка. Если для ф-ции выполняется приближенное равенство f(x) »f(a)
с любой ,
наперед заданной точностью, для всех х , близки х к а , то говорят , что ф-ция
непрерывна в точке а. Иными словами ф-ция f непрерывна в точке а , если f(x) ®f(a) при х ®а.
Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на
промежутке.
Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию.
Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.
Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке
х0=2.Действаительно 3^x ®3^2, при х®2.
Ф-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел , а
ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.
2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа
а наз-ся неотрицательное число n-ая степень к-рого
равна а.
Св-ва корней: Для любых натуральных n,
целого k и любых неотрицательных чисел a
и b выполняются следующие св-ва:
N sqr ab= n sqr a * n sqr b
n sqr (a/b)= (n sqr a)/( n sqr
b) b ¹0
n sqr (k sqr a)= kn sqr (a),
k> 0
n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0
n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k£0,то а¹0)
Для любых неотрицательных чисел а и b
таких, что а < b выполняется
неравенство:
n sqr a< n sqr b, если 0£a<b
Док-во св-ва №5: По опр-нию корня n-ой степени (n sqr
a^k)^n=a^k; (n sqr a)^k³ 0, так как n sqr a³ 0. Найдем n-ю
степень выражения (n sqr a)^k. По св-ву возведения степени в степень ((n sqr a)^k)^n=(n sqr a)^nk=(( n sqr a)^n)^k;по определению корня n-ой степени ((n sqr a)^n)^k=a^k.
Следовательно n sqr a^k=( n sqr a)^k.
Билет №9
1. Все
рациональные и дробно-рациональные ф-ции непрерывны на всей области
определения. Этот факт следует из того что рациональные и дробно-рациональные
ф-ции дефференцируемы во всех точках
своих областей опр-ия.
Например: ф-ция
f(x)=x^3-7X^2+24x непрерывна на множестве действительных
чисел; а ф-ция g(x)=(x^3+8)/(x-2) непрерывна на промежутке (-¥:2) и на
промежутке (2;+ ¥)
2. Логарифмом
числа b наз-ся показатель
степени в к-рую нужно возвести основание а чтобы получить число b.
Из опр-ия
имеем: a^ logab =b (осн-ое лог-ое тождесто)
Св-ва логарифмов: При любом а>0(а¹1), и любых пол-ных х и у выполняются
следующие св-ва:
loga1=0
logaа=1
loga(ху)=
logaХ+ logaУ
Док-во:
Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством
a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции
а^ х+у =а^x * а^y
имеем
а^
loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay
loga(Х/У)=
logaХ- logaУ
logaХ^Р=
рlogaХ
Формула
перехода:
logaХ=
logbX/ logbA
Билет №10.
1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех значений аргумента из
этого промежутка F¢(x)=f(x). Например ф-ция F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех действительных чисел. Действительно F¢(x)=12X^2+3 , т.е. F¢(x)=f(x).
2. Если каждому
действительному числу поставлен в соответствие его тангенс , то говорят , что
задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x.
Св-ва:1)
Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме чисел вида
X=пи/2
+пи k, kÎZ.
Это следует из
опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа, при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, kÎZ.
2) Множеством
значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-¥;+¥).
3) Ф-ция явл-ся
нечетной ф-цией, т.е. для любого хÎD(y) выполняется нер-во tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x
4) Ф-ция явл-ся
периодической с периодом пи k ,где k-целое
кроме 0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.
5) Ф-ция
тангенс принимает значения 0 при х=пи k, kÎZ. Решением ур-ия tg x=0 явл-ся числа х=пи k, kÎZ
6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи k<x<пи/2+ пи k, kÎZ.
Ф-ция tg принимает отрицательные значения при
-пи/2+пи k<x<пи k, kÎZ . Промежутки знакопостоянства следуют из
опр-ия tg x=sin x/cos x.
7) Ф-ция tg возрастает на всей области опр-ия т.е. на
промежутках (-пи/2+пи k; пи/2 +пи k) kÎZ
Билет №13
1) Для того
чтобы найти наибольшее(наименьшее) значение ф-ции y=f(x) имеющее на отрезке [a;b] конечное число
критических точек, нужно:1. Найти критические точки, принадлежащие отрезку[a;b] ; 2.найти значения ф-ции в критических точках
принадлежащих отрезку [a;b] ;3. Найти значение
ф-ции на концах отрезка;4. Из полученных чисел (значения ф-ции в критических
точках и на концах промежутка ) выбрать наиболее наибольшее (наименьшее)
.Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение ф-ции y=x^3 –3x на отрезке [-1,5;3] .
1)D(y)=R; 2) найдем критические точки
y’
=3x^2 –3; А)y’ = 0 если 3x^2 -3=0; 3(x^2 –1)=0; x=0 или x=1. Б) точек в к-рых производная не
существует нет. 3) y(-1)=-1+3=2;
y(1)=1-3=2; y-(-1.5)=(1.5)^3-3*
(-1.5)=(-1.5)^3+2*1.5^2=1.5^2(-1.5+2)=2.25*.5=1.125
y(3)=27-9=18;
-2<1.125<2<18
y(1)<y(-1.5)<y(-1)<y(3).
Min [-1,5;3] y(x)=y(1)=-2
Max [-1,5;3]
y(x)=y(3)=18
2) 1.sin a+ sin b = 2 sin (a+b)/2 *cos(a-b)/2,
2. sin a- sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2,
3. cos
a+ cos b=2 cos (a+b)/2*cos (a-b)/2
4. cos
a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2
1)Пусть a=x+y и b=x-y из этих равенств находим:
x=(a+b)/2 и y=(a-b)/2
2) выведем ф-лы
для суммы и разности синусов.
Докажем формулу 1: Воспользовавшись формулами
синуса суммы и синуса разности имеем sin a+sin b = =sin(x+y)+ sin(x-y)= sin x cos y+ sin y cos x+ sin x*
cos y-sin y*cos x= 2sin x*cos y= 2 sin(a+b)/2*cos(a-b)/2. Таким образом sin a+
sin b=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2
Докажем формулу 2:
Sin a-sin b= sin (x+y)- sin(x-y)=sin x cos y+ sin
y*cos x –sin x*cos y+sin y*cos x= 2 sin y*cos x=2 sin(a-b)/ 2 *
cos(a+b)/2. Таким образом sin a- sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2,
3) выведем ф-лы
для суммы и разности косинусов.
Докажем формулу 4:
Cos a- cos b=cos(x+y)-cos(x-y)=cos x* cos y-sin
x* sin y-cos x*cos y-sin x*sin
y=-2sin x*sin y=-2sin(a+b)/2*sin(a-b)/2 Таким образом
cos a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2
Билет №14
1) Пусть задана
ф-ция y=f(x) ее график изображен на рис 49. Точка х1 является точкой
максимума , х2 является точкой минимума, т.е. точки х1 и х2- точки экстремума.
Значения ф-ции в точках экстремума наз-ся экстремумами ф-ции. Например,
значения ф-ции y=cos x в точках x= 2 пи k,где k Î Z,
явл-ся экстремумами (максимумами)ф-ции,т.е. Ymax=1
2)
1.Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b;
2.cos (a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b;
3. sin(a-b)=sin a*sin b- sin b*cos a
4. sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a
Докажем ф-лу
(1): 1) проведем радиуо ОА, равный R, вокруг точки О на угол a и b (рис50). Получим радиус ОВ и радиус
ОС. 2)Пусть В(х1;у1) С(х2;у2). 3) Введем векторы ОВ(х1;у1) , ОС(х2;у2)
4)По опр-ию
скалярного произведения ОВ*ОС=х1*х2+у1*у2 (*) 5) по опр-ию синуса и косинуса х1=R*cos a, y1=R*sin a, x2=R* cos b, y2=R*sin b 6) заменяя в равенстве(*) х1,х2,у1,у2,
получим ОВ*ОС=R^2*cos a*cos b+R^2*sin a*sin b (**). 7) По теореме о скалярном произведении векторов ОВ*ОС=|OB|*|OC|*cosÐ BOC=R^2 cosÐBOC,
ÐBOC= a-b(см. рис. 50) или
ÐBOC= 2 пи-(a-b) (см. рис. 51)
cos(2 пи-(a-b))=cos(a-b) следовательно
ОВ*ОС=R^2*cos (a-b) (***) 8) Из неравенств (**) и (***) получим: R^2*cos(a-b)=R^2* cos a*cos b+R^2*sin a*sin b. Разделив левую и
правую части на R^2¹0 получим формулу (1)
косинуса разности Cos
(a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b;
С помощью этой
формулы легко вывести формулу (2) косинуса суммы и (4) синуса суммы:
Cos (a+b)=cos(a-(-b))=cos a*cos(-b)+sin a*sin
(-b)= cos a*cos b-sin a*sin b значит cos(a+b)=cos
a*cos b- sin a*sin b. Докажем формулу (4): sin
(a+b)=cos(пи/2-(a+b))=cos((пи/2-a)-b)=cos(пи/2-a)cos b+sin(пи/2-a)sin b=sin
a*cos b+cos a*sin b Значит sin
(a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a
Докажем формулу
(3) Применяя последнюю формулу имеем sin(a-b)=sin(a+(-b))=sin a*cos (-b)+sin(-b)*cos a=sin a*cos b-sin b*cos a. Значит sin(a-b)=sin a*cos b-sin b*cos a. При док-ве формул (1)-(4) были использованы следующие
факты:1) формулы приведения 2)ф-ция y=sin x-нечетная, ф-ция y=cos x-четная. Из формул сложения пологая b=пи n/2, где n ÎN, можно вывести формулы привидения для
преобразований выражений вида cos(пи*n/2 ±a), sin(пи*n/2 ±a). Например cos(пи*n/2 -a)= cos пи/2*cos a+sin пи/2*sin a=0+sin a=sin a. Аналогично выводятся следующие формулы:
Sin (пи-а)=sin a
Sin (пи+а)=-sin a
Sin
(3 пи/2-а)=-cos a и
т.п. Из формул сложения следуют формулы двойного аргумента:
Sin 2a=2sin a*cos a
Cos 2a=cos^2 a-sin^2 a
Билет №11
1)Пусть на
отрезке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная
функция y=f(x); S-площадь соответствующей криволинейной трапеции (рис42). Для
вычисления площади S
разобьём отрезок [a;b] на n равных отрезков, длинна каждого
отрезка [Xj;Xj+1] равна b-a / n; на каждом из отрезков построим прямоугольник, высота которого
равна значению функции f(Xj);
площадь такого прямоугольника равна f(Xj)* DX=f(Xj) * b-a / n. При увеличении числа
промежутков, на которые разбивается
отрезок [a;b],
ступенчатая фигура, состоящяя из прямоугольников, будет «мало отличатся» от
криволинейной трапеции, и если Sn-сумма площадей всех
прямоугольников, то Sn~=S. В курсе математического анализа показывается,
что для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) существует число,
к которому стремится сумма площадей прямоугольников при неограниченном
увеличении n(n
® ¥)). Это число называют интегралом, т.е. Sn ® integral (a;b) f(x) dx при n® ¥
2)Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус,
то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства функции
синус 1) Область определения функции
синус является множество всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу х соответствует
единственная точка единичной окружности Px,
получаемая поворотом точки P0(1;0) на угол,
равный х радиан. Точка Рх имеет ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение функции синус. 2) Множеством значений функции синус
является промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это
следует из определения синуса: ордината любой точки единичной окружности
удовлетворяет условию –1 <= Ypx<=1, т.е. –1<=sin x<=1 3)Функция синус является нечётной, т.е. для
любого х принадлежащего R выполняется
равенство sin(-x)=-sinx. Пусть точка Рх
получена при повороте точки Р0 на х радиан, а точка Р-х получена при повороте
точки Р0 на –х радиан (рис 43). Треугольник
ОрхР-х является равнобедренным; ON-биссектриса
угла РхОР-х, значит, ON является медианой и
высотой, проведённой к стороне РхР-х. Следовательно, PxN = P-xN,
т.е. ординаты точек Рх и Р-х одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Это
означает, что sin(-x)=-sinx. 4) Функция синус является периодической с
периодом 2ПиR, где R-
целое. Кроме 0. Наименьшим положительным периодом синуса является число
2Пи. Каждому действительному числу вида
x+2ПиR, где R принадлежит Z, соответствует
единственная точка единичной окружности Рх + 2ПиR,
получаемая поворотом точки Р0(1;0) на угол x+2ПиR имеет ординату, равную sinx или sin(x+2ПиR). Таким образом, sin(x+2ПиR)=sinx. Этим показано, что
числа вида 2ПиR, где R-
целое, кроме 0, являются периодом функции. При R=1
имеем sin(x+2Пи)=sinx, следовательно, число 2Пи также является периодом функции
синус. Покажем, что 2Пи-наименьшее положительное число, являющееся периодом
функции синус. Пусть Т – положительный период функции синус; тогда sin(x+T)=sinx при любом х. Это
равенство верно и при x= Пи.2, т.е. sin(пи/2 + T)=sin Пи/2 = 1. Но sinx=1,если x= Пи/2 + 2Пиn, где n принадлежит Z. Наименьшее
положительное число вида 2Пиn есть 2Пи. 5) Функция синус принимает значение нуль при
x=ПиR, где R принадлежит Z. Решением уравнения
sinx=0 являются числа x=ПиR, где R принадлежит Z. 6) Функция
синус принимает положительные значения при 2ПиR<x<Пи+2ПиR, где R принадлежит Z. Функция синус принимает отрицательные
значения при Пи+2ПиR<x<2Пи+2ПиR, где R принадлежит Z. Промежутки
знакопостоянства (рис44) следует из определения синуса. 7) Функция синус возрастает на промежутках
[-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR],
где R принадлежит Z, и убывает на
промежутках [Пи/2 + 2ПиR; 3Пи/2 + ПиR], где R принадлежит Z Докажем, что
функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. Пусть х1принадлежит [-Пи /2; Пи /2] и х2>x1. Сравним два значения функции: sinx2 – sinx1 = 2cos x1+x2/2 * sin x2-x1/2; 0< x2-x1/2 <= Пи/2,
-Пи/2 < x1+x2/2<
Пи/2, поэтому, учитывая промежутки знакопостоянства синуса и косинуса, имеем sin x2-x1/2 > 0, cos x1+x2/2>0. Таким
образом, sinx2-sinx1>0, значит, большему значению аргумента
соответствует большее значение функции, т.е. функция синус возрастает на
промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу периодичности синуса можно утверждать, что
синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR;
Пи/2 + 2ПиR], где R
принадлежит Z.
8) Функция синус имеет максимумы , равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где где R принадлежит Z. Функция Синус
имеет минимумы, равные –1, в точках 3Пи/2 + 2ПиR,
где R принадлежит Z. Покажем, что точка х0=Пи/2 является точкой
максимума. Функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2], т.е. sinx<sinПи/2 для любого х
принадлежащего [-Пи/2 ; пи/2]. Функция синус убывает на промежутке [Пи/2;
3Пи/2], т.е. sin x < sin Пи/2 для любого х
принадлежащего [Пи/2; 3Пи/2]. Ледовательно, х0+Пи/2 является точкой максимума
(по определению), а значение sinx=1 является
максимумом. В силу периодичности функции синус можно утверждать, что в точках
Пи/2 + 2ПиR, где R
принадлежит Z, функция имеет максимум, равный 1.
9) Функции арксинус дифференцируема в каждой точке области определения;
производная вычисляется по формуле (sin x)’=cosx. (рис 45)
Билет №12
1)Пусть функция y=f(x) непрерывна на
отрезке [a;b];
F-первообразная функции. В этом случае интеграл (a;b) f(x)dx = F(b) – F(a). Пример
Вычислить : Интеграл (0;Пи)cos(2x – Пи/4) dx = ½sin(2x – Пи/4)|(0;Пи)=
½sin(2Пи - Пи/4) – ½sin(-Пи/4)=½sin(-Пи/4) + ½sin(Пи/4)=-SQR2/4 + SQR2/4 = 0.
2)Если каждому действительному числу поставить в соответствие его
косинус, то говорят, что задана функция косинус. Свойства функции косинус
1)D(y)=R Каждому
действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности
Рх, получаемая поворотом точки Р0 (1;0) на угол х радиан. Точка Рх имеет
абсциссу, равную cos x. Следовательно, для любого х определено значение
функции y=cosx. 2)Множеством значений функции косинус
является промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения косинуса: абцисса
любой точки единичной окружности удовлетворяет условию –1<=Xpx <=1, т.е. –1<= cosx<=1. 3)Функция косинус является чётной, т.е. для любого x Î R выполняется
равенство cos(-x)=cosx. Пусть точка Рх
получина при повороте точки Ро на х радиан, а точка Р-хполучина при повороте
точки Р0 на –х радиан(рис46). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON – биссектриса угла РхР-х, значит, является и высокой,
проведённой к стороне РхР-х. Из этого следует, что точки Рх и Р-х имеют одну и
ту же абсциссу ON, т.е. cos(-x)=cosx. 4)Функция косинус
является периодической с периодом 2ПиR, где R-целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом
косинуса являеися число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где RÎZ,соответствует
единственная точка единичной окружности Рх+2ПиR,
получаемая поворотом точки Р0 (1;0) на угол (x+2ПиR) радиан. Точка Рх+2ПиR
имеет абсциссу, равную cosx или cos(x+2ПиR), где RÎZ. Таким образом, cosx=cos(x+2ПиR). При R=1 имеем cosx=cos(x+2Пи), следовательно, число 2Пи является периодом
функции косинус. Покажем, что 2Пи – наименьший положительный период. Пусть
Т-положительный период косинуса; тогда cos(x+T) = cosx при любом значении х. Это равенство должно быть верно и
при х=0, т.е. cosT = cos0=0, следовательно, cosT=0. Но cosT=0, если T=2ПиR, где RÎZ. Наименьшее
положительное число вида 2ПиR есть 2Пи. 5)Функция косинус принимает значение нуль
при х=Пи/2 + ПиR, где RÎZ. Решением уравнения cosx=0 являются числа х+Пи/2+ПиR, где RÎZ. 6)Функция косинус
принимает положительные значения при –Пи/2 + 2ПиR<x<Пи/2 + 2ПиR, где RÎZ. Функция косинус
принимает отрицательные значения при Пи/2 +
2ПиR<x<3Пи/2
+ 2ПиR, где RÎZ. Промежутки знакопостоянства (рис47) следуют из
определения косинуса. 7)Функция косинус возрастает на промежутках [-Пи + 2ПиR; 2ПиR], где RÎZ, и убывает на
промежутках [2ПиR; Пи+2ПиR],
где RÎZ. Чтобы доказать
утверждение о промежутках возрастания функции косинус, заметим, что cosx=sin(Пи/2+х). Функция y+sin(Пи/2 + х)
возрастает, если –Пи/2 + 2ПиR<=Пи/2 + x<=Пи/2 + 2ПиR, где RÎZ; т.е. если –Пи +
2ПиR, где RÎZ; т.е. если –Пи+2ПиR<=x<=2ПиR, где RÎZ. Поскольку sin(Пи/2 + х)=cosx, функция y=cosx возрастает, если
–Пи+2ПиRR<=x<=2ПиR, где RÎZ. Аналогично обосновывается утверждение о промежутках
убывания функции. 8)Функция косинус имеет максимумы, равные 1, в точках 2ПиR,
где RÎZ. Функция косинус
имеет минимумы, равные –1, в точках Пи+2ПиR,
где RÎZ. Покажем, что
функция y=cosx имеет максимумы в
точках 2ПиR, где RÎZ. Замечая, что cosx=sin(Пи/2 + х), найдём точки максимума функции y=sin(Пи/2+x). Её точки максимума Пи/2 + х=Пи/2+2ПиR, где RÎZ, т.е. x=2ПиR, где RÎZ. Максимум функции косинус равен 1. Аналогично проводятся рассуждения о точках
минимума. 9)Функция косинус непрерывна на всей области определения.10) Функция косинус дифференцируема в каждой точке области
определения; производная функции косинус вычисляется по формуле (cosx)’=-sinx.
Билет №15
1.Если
производная функции равна 0 на некотором промежутке, то эта функция постоянна
на этом промежутке.
Если g¢(x)=0 на некотором промежутке то касательная к графику
функции y=g(x), например g(x)=6
в каждой точке данного промежутка параллельна оси ОХ.
2.Если f- непрерывная и неотрицательная функция на
отрезке[а;b], то площадь соответствующей
криволинейной трапеции можно выч-ть по
формуле
S=F(b)-F(a)
Док-во:
Пусть y=S(x) –площадь криволинейной трапеции, имеющей основание [a;x] где xÎ[а;b], заметим что
S(a)= 0 S(b)=S
Покажем что y=S(x)-первообразная ф-ция y=f(x)
т.е. S¢(x)=f(x)
что бы найти производную ф-ции y=S(x),
воспользуемся
опр-ем производной:
а) зададим
преращение ∆x
(пусть ∆x >0)
б) найдем
приращение ф-ции
∆S=S(x+∆x)-S(x)
в) составим соотношение
∆S/∆x=S(x+∆x)-S(x)/ ∆x
г) выясним чему
равен предел отношения при ∆x®0Разность S(x+∆x)-S(x) равна площади криволинейной трапеции с основанием [x; x+∆x]
Если ∆x®0 то эта площадь приблизительно равна
площади прямоугольника f(x)*
∆x т.е.
S(x+∆x)-S(x) »f(x) * ∆x
Имеем
S(x+∆x)-S(x)/ ∆x »f(x)
При ∆x®0. Этим показано что S¢(x)=f(x)
3)Равенство S¢(x) =f(x)
означает что S-
первообразная функцииf на заданном промежутке.
3)По основному
св-ву первообразной имеем F(x)=S(x)+C, где F-
какая-либо первообразная для f.
При x=a получим ,что
F(a)=S(a)+C т.е.
C=F(a).
При x=b имеем
F(b)=S(b)+F(a)
Следовательно
S=S(b)=F(b)-F(a)
Билет №16
1)Пусть задана
функция y=f(x), дифференцируемая в каждой точке промежутка I, точки a и b принадлежат этому промежутку. На
интервале (a;b) найдётся такая точка с, для которой
выполняется равенство f’(x)= f(b)-f(a)/b-a. Геометрически этот факт можно истолковать следующим
образом. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором промежутке.
Точки a и b принадлежат этому промежутку; через точки
A(a;f(a)) и B(b;f(b)) проведена секущая. Тогда на интервале (a;b) найдётся такая точка с, что угловой коэффициент
касательной, проведённой через точку (с; f(c)), будет равен угловому
коэффициенту секущей АВ (рис 55).
2)Функция заданная
формулой f(x)=x^a, называется степенной. Свойства степенной функции при
а>1 1)D(f)=[0;+¥], если а не является натуральным числом.
Это следует из определения степени с рациональным показателем. Если а
натуральное число, то D(f)=(-¥;+¥) по определению степени с натуральным
показателем. 2)E(f)=[0;+¥) для всех а>1, кроме а= 2R+1. Где RÎN. Это следует из определения степени с
рациональным показателем. E(f)=(-¥;+¥) для нечётных а,т.е. а=2R+1, где RÎN. 3)Если а-чётное натуральное число, то данная функция является
чётной. Т.к.
f(-x)=(-x)^2R = ((-x)^2)^R= (x^2)^R = x^2R = f(x). Если а-нечётное натуральное число. то
данная функция является нечётной, так как f(-x)=(-x)^2R+1 + (-x)^2R (-x)= x^2R * (-x)=-x^2R * x+ -x^2R+1 + -f(x). 4)При х=0 функция f(x)=0, так как 0^a = 0 при а>0. 5)При x>0 функция f(x)>0. Это следует
из определения степени с рациональным показателем. При нечётных а(а=2R+1, RÎN), если х<0, функция принимает
отрицательные значения. Так как x^2R+1+x^2R, x^2R>0, но x<0, следовательно, произведение x^2R x<0, т.е. f(x)<0 при x<0. 6) Функция является возрастающей на промежутке [0;+¥) для любого a>1. Из свойства степени с рациональным
показателем (r-рациональное
число и 0<a<b, тогда a^r<b^r
при r>0) следует, что x1^a<x2^a. Таким образом, меньшему значению
аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. функция y=f(x) возрастает на промежутке [0;¥). Докажем, что если ф- нечётное число, то
функция возрастает и на промежутке (-¥;0] (рис56б). Пусть x1<x2<0, тогда x1^a< x2^a по определению степени с целым
отрицательным показателем. Т.е. данная функция возрастает по определению
возрастающей на промежутке функции. Аналогично можно доказать, что функция y=f(x) на промежутке (-¥;0] убывает, если а – чётное целое
(рис56а).
Билет №17
Пусть задана
сложная ф-ция g(x)=f(kx+b).
Если ф-ция f имеет производную в точке kx0+b, то производную ф-ции g можно найти по формуле g¢(x0)=kf¢(kx0+b).
Например найдем
производную ф-ции g(x)=(7x-9)^19
g¢(x)=7*19(7x-9)^18=133(7x-9)^18
2. Правило 1.
Если F- первообразная ф-ции
f, а G- первообразная ф-ции g, то F+G является первообразная ф-ции f+g.
Док-во:
Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции F+G.
(F+G)¢=F¢+G¢=f+g
Правило 2. Если
F- первообразная ф-ции
f, а
k –постоянная , то kF- первообразная ф-ции kf.
Док-во:
Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции kF.
(kF)¢=kF¢=kf
Правило 3. Если
y=F(x)- первообразная ф-ции
y=f(x),а k и b-
постоянные, причем k¹0 то
ф-ция y=1/k*f(kx+b)
явл-ся первообразной ф-ции y=f(kx+b)
Док-во:
Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции y=1/k*F(kx+b)
(1/k*F(kx+b))¢=1/k*F¢(kx+b)*k=F¢(kx+b)=f(kx+b)
Билет № 18.
1.Пусть
материальная точка движения по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата точки – известная ф-ия времени. За промежуток
времени êt
перемещение точки равно êx, а средняя скорость vср=êx/êt. Если движение таково, что при êt®0 значение средней скорости стремится к
некоторому определённому числу, то это число называют мгновенной скоростью (êx/êy ® vмгн, при êt®0). Но по определению производной êx/êy ® x’ при êt®0. Мгновенная
скорость определена для любой дифференцируемой ф-ии, описывающей перемещение
точки по прямой. Чтобы найти скорость движения v, нужно определить производную от
координаты по времени, т.е. v(t)=x’(t). Пример. Координата точки, движущейся по
прямой, задана формулой x(t)=2t^2-3t+1
(x(t) – перемещение в метрах, t- время в секундах). Найти скорость точки
в момент времени t=2c. Имеем: v(t)=x’(t)=4t-3; v(2)=4*2-3=5 (м/с).
2. Таблица
первообразных элементарных ф-ий.
Билет № 18.
1.Пусть
материальная точка движения по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата точки – известная ф-ия времени. За промежуток
времени êt
перемещение точки равно êx, а средняя скорость vср=êx/êt. Если движение таково, что при êt®0 значение средней скорости стремится к
некоторому определённому числу, то это число называют мгновенной скоростью
(êx/êy ® vмгн, при êt®0). Но по определению производной êx/êy ® x’ при êt®0. Мгновенная
скорость определена для любой дифференцируемой ф-ии, описывающей перемещение
точки по прямой. Чтобы найти скорость движения v, нужно определить производную от
координаты по времени, т.е. v(t)=x’(t). Пример. Координата точки, движущейся по
прямой, задана формулой x(t)=2t^2-3t+1
(x(t) – перемещение в метрах, t- время в секундах). Найти скорость точки
в момент времени t=2c. Имеем: v(t)=x’(t)=4t-3; v(2)=4*2-3=5 (м/с).
2. Таблица
первообразных элементарных ф-ий.
Билет №19
1.Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число Т, не
равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения функции
выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция (синусоиду нарисуешь сам (а))
Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным
периодом является число T=2P.
Для построения графика периодической функции достаточно построить часть графика
на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос этой
части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…
2. Если ф-ия u и v дифференцируемы в некоторой точке, то их
сумма дифференцируема в этой же точке и производная суммы равна сумме
производных: (u+v)’=u’+v’. Доказательство. Найдём производную
суммы по определению производной.
Пусть задана
точка x0, êx-приращение аргумента.
2) Вычислим
приращение ф-ии:
ê(u+v)=u(x0+êx)+(x0+êx)–(u(x0)+v(x0))=u(x0+êx)-u(x0)+v(x0+êx )- v(x0)= ê u+ê v.
3)Найдём
отношение приращения ф-ии к приращению аргумента:
ê(u+v)/êx=(êu+êv)//êx =êu //êx +êv/êx.
4) Выясним, к
чему стремится разносное отношение при êx®0
êu/êx+êvêx ®u’+v’ при êx®0
Билет №20
1)Изобразим в прямоугольной системе координат графики
следующих показательных ф-ий:y=(3/2), y=2, y=(5/2),
y=3
Все графики
проходят через точку M(0;1).
Проведём
касательные к графикам в этой точке. Измерим углы наклона касательных к оси
абсцисс. У касательных к графикам ф-ии y=(3/2), y=2, y(5/2) углы с положительным направлением
оси Ох меньше 45°. У касательной к графику ф-ии y=3 этот угол больше 45°. Наличие у
показательной ф-ии y=e (e=2.71828…) касательной, проведёной в точке
M(0;1) и образующей с
положительным направлением оси абсцисс угол в 45, означает, что производная в
точке х0 =0 равно 1.
Натуральным
логарифмом называется логарифм по основанию е. Натуральный логарифм
обозначается знаком ln,
т.е. log x=ln x.
2. Если
производная ф-ии положительна в каждой точке интервала, то ф-ия возрастает на
этом интервале.
Доказательство:
Ф-ия y= f(x) называется возрастает, если большему значению аргумента
соответствует большее значение ф-ии.
Известно, что
значения дифференцируемой на интеграле ф-ии, значения производной связываются
формулой Лагранжа: если ф-ия y=f(x) дифференцируема на некотором промежутке, точки x1 и x2 принадлежат промежутку (x1< x2), то на интеграле (х1;х2) найдется такая точка с, для которой
выполняется равенство f’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).
Пусть
производная ф-ии принимает положительные значения на интеграле I, т.е. f’(x)>0.Возьмем два знацения аргумента x1 и x2,принадлежащие этому интегралу, причём
х1<х2. Сравним значения этой ф-ии в точках х1 и х2. По формуле Лагранжда
найдётся такое значения с Î (х1:х2), для которой выполняется
равенство
F’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).
Из этого
условия следует, что f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2-x1).
Заметим, что f(c)>0 (по условию), значит, f’(c)*(x2-x1)>0, т.е. разность значению аргумента
соответствует большее значение ф-ии, т.е. ф-ия
y=f(x) является возрастающей. Аналогично показывается
достаточное условия ф-ии.
Ф-ия y=x^n, n¹1 y=sin x y=cos
x
Общий вид
первообразных (x^(n+1))/(n+1)+C -cos x+C Sin x+C
Ф-ия y=e^x y=a^x Y=
1/x
Общий вид
первообразных e^x+C (a)/ln a+C ln x +C
Список
литературы
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.shpori4all.
narod.ru/
|