Главная
Реферат: Задача о бесконечной ортотропной пластинке
Реферат: Задача о бесконечной ортотропной пластинке
Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием
Оглавление
- Общетеоретическая часть
- Прикладная часть
- Физическая постановка задачи
- Упругие свойства материала
- Математическая постановка задачи
- Аналитическое решение
- Иллюстрация распределения напряжений
- Используемая литература.
- Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 )
-
Приложение 2. (График распределения напряжений).
1. Общетеоретическая часть
Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия
примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по
главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные
нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей.
Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:
(1)
Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения
зависят только от двух координат, запишутся так:
(2)
В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений
. Но в уравнения равновесия (2)
не входит , тем самым этой функции
определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок
примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2)
и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая
функция U(x1,x2) для которой выполняются условия:
(3)
Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи,
то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим:
(4)
Введем также еще две функции F(x1,x2) и y
(x1,x2), которые называются функциями напряжений и вводятся
следующим образом:
Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три
уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2)
и y (x1,x2), то будут
найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты .
Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как
тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из
которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций
вводится матрица столбец:
Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом:
а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука:
(5)
где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих
податливостей Dijmn.
Обозначим как неизвестную функцию
D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что:
а выражение для будет равно:
Теперь введем приведенные коэффициенты деформации ,
для которых имеет место выражение:
, где i,j=1..6 (6)
Подставим выражение для в обобщенный
закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения
примут вид:
Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:
(7)
Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой
системе величины - константы,
величины и D зависят от двух
координат x1 и x2, а перемещения ui - функции
трех координат.
Система (7) является системой в частных производных относительно ui
и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует
проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и
5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим:
(8)
Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим:
(9)
Аналогично с 5-ым уравнением:
(10)
Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений
Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим:
(11)
(12)
(13)
Исходя из того, что:
функция D будет иметь вид:
(14)
Тогда с учетом системы (7) получим:
(15)
Исключая V1, U1, W1 ( путем дифференцирования,
сложения и вычитания) получим:
(16)
(17)
Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений
через функции F(x1,x2) и y
(x1,x2) и группируя получим:
(18)
где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы
в частных производных 4-го, 3-го и 2-го порядков:
Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений
в частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными коэффициентами.
Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде:
F0 и y 0 - общее решение
соответствующей однородной системы:
(19)
F* и y * - частные
решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых
частей уравнений и если эти правые части несложны, то и частные решения обычно
описать нетрудно.
Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее y
0:
(20)
В силу симметрии L их можно менять местами:
(21)
Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка
для функции F. Аналогично находим уравнение для y
:
(22)
Оказалось, что F0 и y 0 должны
удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-го порядка можно разложить на
6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и уравнение (21) представить
в виде:
(23)
Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только
от x1 и x2 для Dk имеем:
(24)
где - это корни алгебраического
(характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному
уравнению (21).
Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последовательному
интегрированию шести уравнений первого порядка. В результате получим следующие
общие выражения:
Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается,
однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих
рассуждений.
Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых
компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного тела. Удельная
потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных
и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке. Исходя
из этих предположений можно доказать теорему, согласно которой алгебраическое
характеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому
можно утверждать, что числа в
общем решении системы (19), а также в условиях связи всегда комплексные или
чисто мнимые.
Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных:
Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом
решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический
аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы, применительно
к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое
решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела.
2. Прикладная часть
2.1 Физическая постановка задачи.
Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с эллиптическим
отверстием в центре. Направление главных осей эллипса совпадает с главными
осями упругости материала, усилия приложены на бесконечности вдоль главных
осей.
Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b, р - усилие
на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса с=1/2. Вдоль
оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а вдоль оси 2 - сжимающее
-р. Наша задача найти напряжения на краю отверстия и построить их эпюру.
2.2 Упругие свойства материала.
Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими характеристиками:
Е1=13,0 ГПа;
Е2=19,8 ГПа;
Е3=7,8 ГПа;
G12=4,05 ГПа;
G13=6,4 ГПа;
G23=3,2 ГПа;
n 13=0.25;
n 32=0.14;
n 12=0.176;
n 23=0.06.
2.3 Математическая постановка задачи.
Уравнения равновесия применительно к нашей задаче, когда напряжения зависят
только от двух координат и fi=0, запишутся так:
Граничные условия будут иметь следующий вид:
или в развернутом виде применительно к нашей задаче:
где n - нормаль к контуру отверстия.
2.4 Аналитическое решение.
Решая данную задачу по методу изложенному в первой части с учетом того, что
материал у нас ортотропный выясняем что характеристическое уравнение для определения
коэффициентов распадается на
уравнения 4 и 2 степени:
Отсюда немедленно вытекают следующие соотношения:
Как мы увидим в дальнейшем этих соотношений достаточно и искать непосредственно
не требуется.
Для решения нашей задачи воспользуемся формулами полученными в работе [1].
Нам надо будет провести только некоторые обобщения и объединение этих формул.
Определим для начала необходимые нам константы аij:
введем теперь следующие обозначения:
Беря уравнение контура в параметрическом виде, т.е. полагая:
введем еще обозначения для функций, зависящих от параметра :
Нас будет интересовать только напряжение у края отверстия -
где, как показывает ряд решенных задач, оно получается наибольшим. Опуская
промежуточные выкладки приведем две формулы (при растяжении вдоль большой
и малой оси эллипса):
для нашей задачи в силу принципа суперпозиции (а его можно применить, так
как мы рассматриваем линейную связь между напряжениями и деформациями, а также
считаем их малыми) получим следующую общую формулу:
2.5 Иллюстрация распределения напряжений.
Для построения эпюры напряжений на краю отверстия воспользуемся возможностями
математического пакета MathCad 7.0. Используя найденную нами формулу рассчитаем
напряжения в зависимости от угла
и отложим их на графики от контура отверстия на продолжении лучей, проведенных
из центра через данные точки контура. Положительные напряжения изображены
стрелками направленными от центра к периферии, отрицательные - стрелками направленными
к центру. При расчетах полагалось р=1.
Результаты расчета и график распределения напряжений приведены соответственно
в приложениях 1 и 2.
Проведем небольшой анализ полученных результатов. Как мы видим максимальное
напряжение наблюдается в точках ,
оно равно
-6р. То есть наблюдаем концентрацию в 6 раз по сравнению с пластинкой без
отверстия.
Используемая литература:
- Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Гостехиздат М. 1950
г.
- Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. "Наука" М. 1977
г.
- под ред. Любина Д. Справочник по композиционным материалам.. Машиностроение
М. 1988 г.
Приложение 2. (График распределения напряжений)
|