Научно-образовательный портал
2FJ.RU

Реферат: Теория случайных функций

Реферат: Теория случайных функций

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Èíñòèòóò Ýëåêòðîíèêè è Ìàòåìàòèêè

(Òåõíè÷åñêèé Óíèâåðñèòåò)

ïî êóðñó

Ñòóäåíò: Ôåðåíåö Ä.À.

Ïðåïîäàâàòåëü: Ìåäâåäåâ À.È.

Âàðèàíò: 2.4.5.á

Ìîñêâà, 1995

Äàíî:

Âîññòàíàâëèâàåìàÿ, ðåçåðâèðîâàííàÿ ñèñòåìà (5,1) ñ ÊÏÓ, âåðîÿòíîñòü ñðàáàòûâàíèÿ ÊÏÓ ðàâíà b.

Âðåìÿ íåâûõîäà èç ñòðîÿ (ò.å. áåçîòêàçíîé ðàáîòû) îñíîâíîãî ýëåìåíòà ðàñïðåäåëåíî ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ïàðàìåòðîì a.

Âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ âûøåäøåãî èç ñòðîÿ ýëåìåíòà ðàñïðåäåëåíî ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ïàðàìåòðîì m.

Òèï ðåçåðâèðîàâíèÿ - íåíàãðóæåííûé.

Äëÿ îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ââåäåì äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé ïîöåññ n(t) = (x(t), d(t)) ñ êîîðäèíàòàìè, îïèñûâàþùèìè:

- ôóíêöèîíèðîâàíèå ýëåìåíòîâ

x(t) О {0, 1, 2} - ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ;

- ôóíêöèîíèðîâàíèå ÊÏÓ

d(t) О {0,1} - 1, åñëè èñïðàâåí, 0 - åñëè íåò.

Òàê êàê âðåìåíà áåçîòêàçíîé ðàáîòû è âîññòàíîâëåíèÿ èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî â ñèëó ñâîéñòâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî x(t) - îäíîðîäíûé Ìàðêîâñêèé ïðîöåññ.

Îïðåäåëèì ñîñòîÿíèå îòêàçà ñèñòåìû:

Ñèñòåìà îòêàçûâàåò ëèáî åñëè ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå 2 ïðîöåññà x(t) (ò.å. îòêàç êàêîãî-ëèáî ýëåìåíòà ïðè êîëè÷åñòâå ðåçåðâíûõ ýëåìåíòîâ, ðàâíûì íóëþ), ëèáî åñëè íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè 0 ïðîöåññà d(t) (ò.å. îòêàç êàêîãî-ëèáî ýëåìåíòà è îòêàç ÊÏÓ).

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàô ñîñòîÿíèé ñèñòåìû:

0 - ñîñòîÿíèå, ïðè êîòîðîì 0 íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ,
ò.å. ñîñòîÿíèå n(t) = (0, d(t))

1 - ñîñòîÿíèå, ïðè êîòîðîì 1 íåèñïðàâíûé ýëåìåíò,
ò.å. ñîñòîÿíèå n(t) = (1, 1)

Ï - ñîñòîÿíèå, ïðè êîòîðîì ëèáî 2 íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòà, ëèáî 1 íåèñïðàâíûé ýëåìåíò è íåèñïðàâíûé ÊÏÓ,
ò.å. êîìïîçèöèÿ ñîñòîÿíèé n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) - ïîãëîùàþùåå ñîñòîÿíèå.

Íàéäåì èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ.

Òàê êàê âûõîä èç ñòðîÿ êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ - ñîáûòèÿ íåçàâèñèìûå, òî ïîëó÷èì:

âåðîÿòíîñòü âûõîäà èç ñòðîÿ ýëåìåíòà: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h)

âåðîÿòíîñòü âîññòàíîâëåíèÿ ýëåìåíòà: 1-exp(-mh) = mh + o(h)

Ю

Ïóñòü

Ю Ïîëó÷èì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà:

Ïóñòü
,

ò.å. ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ê
.

Ò.ê.
, òî, ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòåé, ïîëó÷àåì:

Ю

Ю

(
- êîðíè
=0)

Ïðåäñòàâëÿÿ êàæäóþ èç ïîëó÷åííûõ ôóíêöèé â âèäå ñóììû äâóõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé, ïîëó÷àåì:

Ïðèìåíÿÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé
:

Ю

Ю

Ю Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü íåâûõîäà ñèñòåìû èç ñòðîÿ çà âðåìÿ t:

,

ãäå

,

Èòàê,

,
ãäå

Îïðåäåëèì òåïåðü ñðåäíåå âðåìÿ æèçíè òàêîé ñèñòåìû, ò.å. MT

(T - âðåìÿ æèçíè ñèñòåìû):

Ю