Научно-образовательный портал |
|
|
|
|
 |
 |
Главная
Реферат: Подборка основных формул по курсу функциональный анализ по материалам лекции Бекаревой Н.Д.Реферат: Подборка основных формул по курсу функциональный анализ по материалам лекции Бекаревой Н.Д.Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейноемногообразие, плотное в E. (( (x(E (u: ?x-u? Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства. Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства. Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП L(E, ((((0,1) (z((E\L ?z(?=1 ((z(,L)>1-( Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться. Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве. Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением. Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства. Определение: L плотное в E, если (x(E (u(L: ?x-u? Теорема: Чтобы L было плотно в H ( ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента. Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество. Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства. Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy Определение: Непрерывный оператор – Ax(Ax0 при x( x0 Определение: ((X,Y) – пространство линейных операторов Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X. Определение: Ограниченный оператор - (?x??1 (с: ?Ax??c Теорема: A – ограниченный ( (x(X ?Ax??c?x? Теорема: Для того чтобы А был непрерывен ( чтобы он была ограничен Теорема: {An} равномерно ограничена ( {An}- ограничена. Теорема: {Anx} – ограниченно ( {?An?}- ограничена. Определение: Сильная (равномерная) сходимость ?An-A?(0, n((, обозначают An(A Определение: Слабая сходимость - (x(X ?(An-A)x?Y(0, n(( Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ( {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1 Теорема: Банаха-Штенгауза An(A n(( слабо ( 1) {?An?}- ограничена 2) An(A, x’(X, x’=x Теорема: Хана Банаха. A:D(A)(Y, D(A)(X ( ( A’:X(Y 1) A’x=Ax, x(D(A) 2) ?A’?=?A? Определение: Равномерная ограниченность - (a (x: ?x(t)??a Определение: Равностепенная непрерывность (t1,t2 ((: ?x(t1)-x(t2)? Теорема: ((X,Y) полное, если Y – полное. Определение: Ядро – Ax=0 Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=((X,E) Определение: Сопряженный оператор A*: Y*(X* Теорема: Банаха A:X(Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда ( A-1 и ограничен. Определение: Оператор А – обратимый Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен. Теорема: A-1 ( и ограничен ( (m>0 (x(X ?Ax??m?x? Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X(Y – линейный ограниченный функционал ( (! y(H (x(H f(x)=(x,y) Определение: M(X называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность. Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность. Теорема: Хаусдорфа. M(X компактно ( ((>0 ( конечная (-сеть Теорема: Арцела. M(C[a,b] компактно ( все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y. Определение: ((X,Y) – подпространство компактных операторов Теорема: Шаудера. A(((X,Y) ( A*(((X*,Y*) Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу |
 |
 |
|
Новости:ПоискРасширенный поиск |
|
© Все права защищены.