Главная
Реферат: Некоторые главы мат. анализа
Реферат: Некоторые главы мат. анализа
Некоторые главы мат анализа
ГЛАВА 1 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Основные сведения
Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1)Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.
2)Если функция f(x) период Т , то функция f(ax)имеет период .
3)Если f(x)- периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:
(1)
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
, где n=1,2, . . .
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ ] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
=
=
= 0 , где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:
Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье
на промежутке то
, где
,
,
,
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
n=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи
где n=1,2,...
Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
,
Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством
, где
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
(n=1,2, . . .)
Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
(1) , где а - положительное число.
Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
(2)
и начальных условиях:
(3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t) 0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t), (4) , где , .
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.
a)Пусть Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:
откуда и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
б) Пусть . Тогда решив уравнение
получим , и, подчинив, найдем, что
в) Если то
Уравнения имеют корни :
получим:
где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:
откуда , т. е.
(n=1,2,...)
(n=1,2,...).
Учитывая это, можно записать:
(n=1,2,...).
и, следовательно
, (n=1,2,...),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
, (n=1,2,...),
где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
где
(n=1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1)абсолютной интегрируемости на
(т.е. интеграл сходится)
2)на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3)в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где ,
.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:
,
где a(u) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b(u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).
Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:
, где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n=1,2,... , k=1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор
при этом, .
Разложение четной функции в ряд
Данную выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до смотри рис.2
Рис.2
поэтому разложение по косинусу имеет вид:
Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:
На основе данного разложения запишем функцию в виде ряда:
и вообще
.
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника
2-ая гармоника
3-я гармоника
4-ая гармоника
5-ая гармоника
А теперь рассмотрим сумму этих гармоник F(x):
Комплексная форма ряда по косинусам
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)
,
но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+2 :
(т.к. см. разложение выше)
и случай когда n=-2:
( т.к. )
И вообще комплексная форма:
или
или
Разложение нечетной функции в ряд
Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до смотри рис.3
Рис.3 поэтому разложение по синусам имеет вид:
Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.
При n=1:
,
и при n=2:
Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде
и вообще
Найдем первые пять гармоник для данного разложения:
1-ая гармоника
2-ая гармоника
3-ая гармоника
4-ая гармоника
5-ая гармоника
И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F(x)
Вывод:
На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.
Комплексная форма ряда по синусам
Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:
, (т.к. )
тогда комплексный ряд имеет вид:
ГЛАВА 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
Проверка условий представимости
Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от до как равную нулю(рис.4).
Рис.4 а) f(x)-определенна на R;
б) f(x) возрастает на , f(x) убывает на - кусочнo-монотонна.
f(x) = const на и .
< .
Интеграл Фурье
В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u):
;
.
И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:
Интеграл Фурье в комплексной форме
Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
,
,
а теперь получим интеграл в комплексной форме:
.
ГЛАВА 4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА
Основные сведения
Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:
Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... :
. . . . . . . . . .
Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:
,
где и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.
Преобразование функции
Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):
т. к. она расположена на промежутке от 0 до необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.
Замена:
и тогда F(t) примет вид
или
Вычисление коэффициентов ряда
Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:
Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:
Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно - слагаемое:
А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):
Рис. 5 т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.
Вывод:
На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.
ГЛАВА 5 ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Прямое преобразование
Для того, чтобы произвести прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично. Поэтому разбиваем отрезок от 0 до на N=8 частей, так чтобы приращение:
В нашем случае , и значения функции в k-ых точках будет:
для нашего случая (т.к. a=0).
Составим табличную функцию:
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
0.785 |
1.571 |
2.356 |
3.142 |
3.927 |
4.712 |
5.498 |
|
0 |
0.707 |
1 |
0.707 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Табл. 1
Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора называется . Поэтому найдем :
, n=0,1,...,N-1
Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).
Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:
зная, , где
, где
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
2,4 |
2 |
1 |
0 |
0.4 |
0 |
1 |
2 |
|
0.318 |
0.25 |
0.106 |
0 |
0.021 |
0 |
0.009 |
0 |
Табл. 2 Амплитудный спектр
Обратное преобразование
Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование- есть функция :
В нашем случаи это:
А теперь найдем модули и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям:
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
0.785 |
1.571 |
2.356 |
3.142 |
3.927 |
4.712 |
5.498 |
|
0 |
0.707 |
1 |
0.707 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0.708 |
1 |
0.707 |
8e-4 |
5e-5 |
5e-4 |
3e-4 |
Табл. 3 Из приведенной таблицы видно, что приближенно равно .
Построим графики используя табл.3, где - это F(k), а - это f(k) рис. 6 :
Рис. 6 Вывод:
На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.
Этап I
1 Постановка задачи
Дана основная (рис. 1.1а) и резервная (рис. 1.1б) схемы. Рассмотреть два способа повышение надежности основной схемы до уровня 0.95
а) б)
Рис. 1.1
Первый способ
- каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.
Второй способ
- подключить к основной схеме параллельно по N резервной схеме.
№ элемента
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Надежность
|
0.6
|
0.6
|
0.6
|
0.3
|
0.7
|
0.4
|
0.3
|
0.5
|
0.1
|
Надеж.(резер.)
|
0.3
|
0.3
|
0.3
|
0.15
|
0.35
|
|
|
|
|
2 Теоретическая часть
Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение:
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.
А к с и о м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й :
1. Вероятность любого события находится в пределах:
.
2. Если А и В несовместные события , то
3. Если имеется счетное множество несовместных событий А1, А2, ... Аn, ... при , то
Следствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т.е. если
; при
то
.
Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице:
Правило умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого
.
Для независимых событий правило умножения принимает вид:
, или
Основываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи.
Схема состоит из нескольких n блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы.
Рис. 2.1
Событие A={безотказная работа прибора} есть произведение n независимых событий А1, А2, ... Аn, где Ai={безотказная работа i -го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем
.
Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Найти вероятность безотказной работы всей системы.
Рис. 2.2
От события В={система будет работать} перейдем к противоположному: ={система не будет работать}. Для того чтобы система не работала, нужно, чтобы отказали оба блока. Событие есть произведение двух событий:
={блок 1 отказал}x{блок 2 отказал}.
По правилу умножения для независимых событий:
3 Практическая часть
Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит :
, а также резервной схемы (рис. 1б) :
Рассмотрим первый способ подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока
Рис. 3.1
Тогда формула вероятности для схемы на рис. 2 будет выглядеть так :
, где
,
,
,
,
.
Увеличивая N дополнительных элементов пошагово добиваемся значения :
Шаг первый, при N=1
< 0.95
Шаг второй, при N=2
< 0.95
Шаг третий, при N=3
< 0.95
Шаг четвертый, при N=4
< 0.95
Шаг пятый, при N=5
> 0.95
Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.
Рассмотрим второй способ подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N подключений при котором достигается заданная вероятность .
Рис. 3.2
Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так :
, где
, а - смотри выше.
Увеличивая N дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения :
При N=1 : < 0.95
При N=2 : < 0.95
При N=3 : < 0.95
При N=4 : < 0.95
При N=5 : < 0.95
При N=6 : > 0.95
Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо шесть резервных схем.
Этап II
1 Постановка задачи
- найти неизвестную константу функции f(x);
- выписать функцию распределения, построить их графики;
- найти математическое ожидание и дисперсию;
- найти вероятность попадания в интервал (1;4).
2 Теоретическая часть
Под случайной величиной понимается величина, которая в результате измерения (опыта) со случайным исходом принимает то или иное значение.
Функция распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х:
.
Основные свойства функции распределения:
1) F(x) - неубывающая функция своего аргумента, при .
2) .
3) .
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее f(x) :
Выразим функцию распределения F(x) через плотность распределения f(x):
Основные свойства плотности распределения f(x):
1. Плотность распределения - неотрицательная функция .
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единицы:
.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.
Перейдем от дискретной случайной величины Х к непрерывной с плотностью f(x).
Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:
Для непосредственного вычисления дисперсии непрерывной случайной величины служит формула:
3 Практическая часть
Для нахождения неизвестной константы c применим выше описанное свойство:
, откуда
, или
Найдем функцию распределения основываясь на теоретической части:
- на интервале
- на интервале
- на интервале
Теперь построим график функций f(x)- плотности распределения (рис. 2.1 - кривая распределения) и F(x)- функции распределения (рис. 2.2)
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Следуя постановке задачи найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X :
Производя еще одну замену приходим к первоначальной формуле из чего можно сделать вывод, что математическое ожидание с.в. Х равно :
Также находим дисперсию :
И последнее, вероятность попадания в интервал (1;4) находим как :
Этап III
1 Постановка задачи
Дана случайная выборка объема n=100 :
104.6
|
95.2
|
82.0
|
107.7
|
116.8
|
80.0
|
100.8
|
124.6
|
99.4
|
101.4
|
100.6
|
86.3
|
88.2
|
103.8
|
98.5
|
111.8
|
83.4
|
94.7
|
113.6
|
74.7
|
114.3
|
86.9
|
106.6
|
94.9
|
105.9
|
88.6
|
96.6
|
93.7
|
90.8
|
96.5
|
110.2
|
100.0
|
95.6
|
102.9
|
91.1
|
103.6
|
94.8
|
112.8
|
100.1
|
95.3
|
113.9
|
113.9
|
86.1
|
110.3
|
88.4
|
97.7
|
70.1
|
100.5
|
90.9
|
94.5
|
109.1
|
82.2
|
101.9
|
86.7
|
97.4
|
102.1
|
87.2
|
94.71
|
112.4
|
94.9
|
111.8
|
99.0
|
101.6
|
97.2
|
96.5
|
102.7
|
98.6
|
100.0
|
86.2
|
89.4
|
85.0
|
86.6
|
122.7
|
101.8
|
118.3
|
106.1
|
91.3
|
98.4
|
90.4
|
95.1
|
93.1
|
110.4
|
100.4
|
86.5
|
105.4
|
96.9
|
101.9
|
83.8
|
107.3
|
107.5
|
113.7
|
102.8
|
88.7
|
112.5
|
79.4
|
79.1
|
98.1
|
103.8
|
107.2
|
102.3
|
2 Теоретическая часть
Под случайной выборкой объема n понимают совокупность случайных величин , не зависимых между собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений.
Упорядоченной статистической совокупностью будем называть случайную выборку величины в которой расположены в порядке возрастания .
Размах выборки есть величина r=Xn-X1, где Xn - max , X1 - min элементы выборки.
Группированным статистическим рядом называется интервалы с соответствующими им частотами на которые разбивается упорядоченная выборка, причем ширина интервала находится как :
тогда частота попадания в отрезок находим по формуле :
, где Vi - число величин попавших в отрезок , причем . Поделив каждую частоту на получим высоту для построения гистограммы.
Построив гистограмму мы получили аналог кривой распределения по которой можем выдвинуть гипотезу о законе распределения. Выровнять статистическое распределение с помощью закона о котором выдвинули гипотезу, для этого нужно статист. среднее mx* и статистическую дисперсию Dx* .
Которые находим как
Естественной оценкой для мат. ожидания является среднее арифметическое значение :
.
Посмотрим, является ли эта оценка не смещенной , для этого найдем ее мате-матическое ожидание :
,
то есть оценка для m является несмещенной.
Найдем дисперсию этой оценки :
Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X .Если распределение нормально, то оценка для мат. ожидания m является и эффективной.
Перейдем к оценке для дисперсии D. На первый взгляд наиболее естественной представляется статистическая дисперсия D*, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений Xi от среднего :
.
Проверим состоятельность этой оценки, выразив ее через среднее арифметическое квадратов наблюдений:
.
, где правая часть есть среднее арифметическое значений случайной величины X2 сходится по вероятности к ее мат. ожиданию: . Вторая часть сходится по вероятности к ; вся величина сходится по вероятности к . Значит, оценка состоятельна.
Проверим ее на несмещенность, подставив в вместо его выражение и произведем действия:
.
Так как D* не зависит от выбора начала координат то отцентрируем все случайные величины . Тогда
.
Найдем мат. ожидание величины D*:
.
Но , , и получаем:
.
Отсюда видно, что величина D* не является несмещенной оценкой для дисперсии D; ее мат. ожидание не равно D, а несколько меньше. Пользуясь оценкой D* вместо D, будет проходить систематическая ошибка в меньшую сторону, чтобы ее ликвидировать введем поправку тогда мы получим несмещенную оценку для дисперсии:
При больших n поправочный коэффициент становится близким к единицы, и его применение теряет смысл. Поэтому в качестве приближенных значени (оценок) этих характеристик нужно взять:
,
.
3 Практическая часть
Упорядоченная выборка где n=100 количество замеров :
70.1
|
74.7
|
79.1
|
79.4
|
80.0
|
82.0
|
82.2
|
83.4
|
83.8
|
85.0
|
86.1
|
86.2
|
86.3
|
86.5
|
86.6
|
86.7
|
86.9
|
87.2
|
88.2
|
88.4
|
88.6
|
88.7
|
89.4
|
90.4
|
90.8
|
90.9
|
91.1
|
91.3
|
93.1
|
93.7
|
94.5
|
94.7
|
94.7
|
94.8
|
94.9
|
94.9
|
95.1
|
95.2
|
95.3
|
95.6
|
96.5
|
96.5
|
96.6
|
96.9
|
97.2
|
97.4
|
97.7
|
98.1
|
98.4
|
98.8
|
98.6
|
99.0
|
99.4
|
100.0
|
100.0
|
100.1
|
100.4
|
100.5
|
100.6
|
100.8
|
101.4
|
101.6
|
101.8
|
101.9
|
101.9
|
102.1
|
102.3
|
102.7
|
102.8
|
102.9
|
103.6
|
103.8
|
103.8
|
104.6
|
105.4
|
105.9
|
106.1
|
106.6
|
107.2
|
107.3
|
107.5
|
107.7
|
109.1
|
110.2
|
110.3
|
110.4
|
111.8
|
111.8
|
112.4
|
112.5
|
112.8
|
113.0
|
113.6
|
113.9
|
113.9
|
114.3
|
116.8
|
118.3
|
122.7
|
124.6
|
Размах выборки r=Xn-X1=124.6-70.1= 54.5
На основе выше изложенной теории для исследования статистики составляем табл. 3.1.
Табл. 3.1
Интервалы
|
Число попаданий в интервал
|
Частота попаданий в интервал
|
Высоты интервалов для гистограммы
|
- 70.10 - 75.55
- 75.55 - 81.00
- 81.00 - 86.45
- 86.45 - 91.90
- 91.90 - 97.35
- 97.35 - 102.80
- 102.80 - 108.25
- 108.25 - 113.70
- 113.70 - 119.15
- 119.15 - 124.60
|
2
3
8
15
17
23.5
13.5
11
5
2
|
0.020
0.030
0.080
0.150
0.170
0.235
0.135
0.110
0.050
0.020
|
0.0036697
0.0055045
0.0146788
0.0275229
0.0311926
0.0431192
0.0247706
0.0201834
0.0091743
0.0036697
|
|
|
Сумма 1.000
|
|
По построенной гистограмме (рис. 3.1) можно предположить, что данное распределение подчиняется нормальному закону. Для подтверждения выдвинутой гипотезы проведем оценку неизвестных параметров, для мат. ожидания
,
для оценки дисперсии
.
Полагая в выражении нормальной плотности
, где
и пользуясь, либо приложением 4 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.” Прикладные задачи теории вероятностей.” - М.: Радио и связь, 1983, либо как в нашем случае воспользоваться системой MathCad , получим значения на границах разрядов табл. 3.2 :
Табл. 3.2
x |
f(x) |
- 70.10
- 75.55
- 81.00
- 86.45
- 91.90
- 97.35
- 102.80
- 108.25
- 113.70
- 119.15
- 124.60
|
0.0010445
0.0036354
0.0097032
0.0198601
0.0311717
0.0375190
0.0346300
0.0245113
0.0133043
0.0055377
0.0017676 |
и построим выравнивающую ее нормальную кривую рис. 3.1
Рассчитаем вероятность (табл. 3.3) попадания с. в. Х в k-й интервал по формуле
Табл. 3.3
|
|
- 70.10 - 75.55
- 75.55 - 81.00
- 81.00 - 86.45
- 86.45 - 91.90
- 91.90 - 97.35
- 97.35 - 102.80
- 102.80 - 108.25
- 108.25 - 113.70
- 113.70 - 119.15
- 119.15 - 124.60
|
0.0115694
0.0344280
0.0790016
0.1398089
0.1908301
0.2009057
0.1631453
0.1021833
0.0493603
0.0183874 |
Для проверки правдоподобия гипотезы воспользуемся критерием согласия для этого возьмем данные из табл. 3.1 и 3.3 и подставим в формулу :
Рис. 3.1
Определяем число степеней свободы (10-1-l)=7, где l - число независимых
условий (количество параметров подлежащих оценки в нашем случаи их l=2,
это mx, Dx - для нормального распределения).
По приложению 3 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. ”Теория вероятностей
и ее инженерные приложения.” - М.: Наука, 1988 находим при r=7, p=0.95 =2.17
для уровня значимости и видим, что
, но даже меньше.
Это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза о нормальности распределения не противоречит опытным данным.
|