Научно-образовательный портал
2FJ.RU

Реферат: Математическое моделирование экономических систем

Реферат: Математическое моделирование экономических систем

Математическое моделирование экономических систем

Раздел 1. Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины yi используя правило:

Если yj + lij < yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

yA + l4A=0+9=9 < y4=¥ Þ y4=9

yA + lBA=0+13=13 < yB=¥ Þ yB=13

yA + l1A=0+8,32=8,32 < y1=¥ Þ y1=8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

y4 + lB4=9+7=16 > yB=13

y4 + lД4=9+8=17 < уД=¥ Þ yД=17

yВ + lДВ=13+12=25 > yД=17

yВ + lБВ=13+15=28 < уБ=¥ Þ yБ=28

yВ + l1В=13+9=22 > у1=8,32

y1 + lВ1=8,32+10=18,32 > yВ=13

y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 < уБ=28 Þ yБ=16,64

yД + l4Д=8,32+17=25,32 > y4=9

yД + lВД=17+12,32=29,32 > yВ=13

yБ + lВБ=16,64+15,32=31 > yВ=13

yБ + l1Б=16,64+8=24,64 > y1=8,32

Теперь проверим условие lij ³ yi - yj для всех дуг сети.

l4A = у4 - уА 9=9-0

l4Д > у4 – уД 8,32> 9-17

lД4 = уД – у4 8=17-9

lДВ > уД – уВ 12> 17-13

lBA = yB - yA 13=13-0

lBД > yB – yД 12,32> 13-17

lBБ > yB – yБ 15,32> 13-16,64

lB4 > yB – y4 7> 13-9

lB1 > yB – y1 10> 13-8,32

lБВ > уБ - уВ 15> 16,64-13

lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0

l1В > у1 – уВ 9> 8,32-13

l1Б > у1 – уБ 8> 8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

lij = yi - yj

Таковыми являются:

l4A = у4 - уА 9=9-0

lД4 = уД – у4 8=17-9

lBA = yB - yA 13=13-0

lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

при следующих ограничениях:

из каждого города i нужно уехать только один раз

в каждый город j нужно приехать только один раз:

переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

решение есть простой цикл

Решение задачи:

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

min z = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2. Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб

Математическая модель транспортной задачи:

Ограничения:

весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

xij ³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n

xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

Вф=S аi - S bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.

Проверяем план на вырожденность:

m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij).

Проверяем план на оптимальность:

число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

Ui + Vj < Сpi + E*Kpi + Cij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

Ki = S xij / xi

S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

xi – мощность i-го АБЗ

Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vj < Сpi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.