Научно-образовательный портал
2FJ.RU

Реферат: Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Реферат: Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Введение

В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.

1.Постановка задачи

В дипломной работе рассматривается задача:

(З)

0

.

Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области
, и исследовать полученную оценку при

2. Оценочный анализ решения задачи.

Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения теплопроводности : “Всякое решение уравнения
в прямоугольнике
, непрерывное вплоть до границы, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах” [2].

2.1. Оценка решения сверху.

В области t=t , x=
рассмотрим решение задачи :

, V(0,x) =
( x ),
, (1)

это решение имеет вид [1]:

v (t, x) =
. (2)

Зафиксируем некоторое
и перейдем к исходной системе координат, тогда (2) в системе t=t, x=
будет выглядеть так:

V(t, x) =
(2’)

Из принципа максимума [2] заключаем, что:

U( t, x )
V( t, x ). (3)

Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).

2.2. Оценка решения в виде интеграла

Разобьем интервал
< x

на две части
и
, тогда интеграл (2’) запишется в виде:

V( t, x ) =
. (*)

Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что
:

; (а)

;

;

где
.

После проведенного исследования видно, что

Использовав известное разложение
,

где Z
0,
, заменим экспоненты во втором интеграле рядами:

(а)
;

(б)
.

В результате получим :

Здесь:

,
, (4.1)

,
. (4.2)

Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:

m=1,

U(t, x)
. (5)

Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к .
фиксированно)

Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).

пусть

(т.е.
финитна), в соответствии с принципом максимума:

, (3’)

при

где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:

Аналогично, как и выше

здесь:

Таким образом,

(используем разложение в ряд Тейлора)

В итоге,

(5.1)

Рассмотрим два случая:

а) Пусть

,

тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю быстрее любой степени
,

поэтому (5.1) можно переписать как:

(5.2)

б) Пусть
тогда:

где

В результате получаем:

(5.3)

2.3. Выбор интервала (
) и оценка погрешности

Зададим произвольно некоторую константу
>0, потребовав чтобы в (5)

<
.

при
.

Неравенство (5) можно только усилить, если

<
(6)

Рассмотрим общий вид
:

; (7)

, (7.1)

b=x ( k=1 ) , b=2
(k=2)
оценка (7.1) эквивалентна системе неравенств:

,

откуда:

. (8)

Т. к. в работе исследуется поведение неравенства (3) при
то принимаем что для некоторого
:

. (9)

3. Формулировка результата в виде теоремы

Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие теоремы:

(З)

- гладкая, непрерывно - дифференцируемая функция на
,а функция
ограничена на R :
.

Тогда для любого сколь малого числа
можно указать число

такое что имеет место следующая оценка “сверху” решения задачи (З):

Раскрыв квадратные скобки, получим:

.

2.Пусть в имеет место задача (З),
- монотонная, неограниченная, возрастающая функция,

тогда:

1. если
   , то

2) если
то

Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при более слабых ограничениях

4. Примеры

Пусть
,

Заключение

В дипломной работе произведена оценка решения “сверху” для уравнения теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно получить оценку решения “снизу”. Для этого нужно рассмотреть ступенчатую область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной выше оценкой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд. “Наука”, М. 1966 (с. 230 -233);
2. С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. “Наука”, М. 1973 . 33-34);
3. Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. “Наука”, М. 1989.