Главная
Реферат: Дискретная математика
Реферат: Дискретная математика
Дискретная математика
Введение
Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…
Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.
В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:
- Язык дискретной математики;
- Логические функции и автоматы;
- Теория алгоритмов;
- Графы и дискретные экстремальные задачи.
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.
Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.
Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.
Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.
Множества и операции над ними
Одно из основных понятий математики – множество.
Определение:
Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.
Множество обозначают: M,N …..
m1, m2, mn – элементы множества.
Символика
A Î
M – принадлежность элемента к множеству;
А Ï
М – непринадлежность элемента к множеству.
Примеры числовых множеств:
1,2,3,… множество натуральных чисел N;
…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.
множество рациональных чисел
а.
I – множество иррациональных чисел.
R – множество действительных чисел.
K – множество комплексных чисел.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.
А Í
В – А подмножество В (нестрогое включение)
Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
A = B Если А Í
В и А ¹
В то А Ì
В (строгое включение).
Множества бывают конечные и бесконечные.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Конечное множество имеет конечное количество элементов.
Пустое множество не содержит элементов: M = Æ
.
Пример: пустое множество:
1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = Æ
.
2) множество D
, сумма углов которого ¹
1800 пустое: M = Æ
. Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.
Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.
Если , состоящее из элементов
E, не принадлежащих А, называется дополненным.
Множество можно задать:
- Списком элементов {a,b,c,d,e};
- Интервалом 1<x<5;
- Порождающей процедурой: xk=p
k sinx=0;
Операции над множествами
- Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.
А È
В Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.
Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.
Объединение двух множеств
Объединение трех множеств:
Объединение системы множеств можно записать
- объединение системы n множеств.
Пример: объединение множеств, когда они
заданы списком.
A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}
2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.
A Ç
B
Пересечение прямой и плоскости
- если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;
- если прямые II пл., то M ¹ Æ
;
- если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.
Пересечение системы множеств:
- Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов
А, не входящих в В.
С = А \ В
A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.
В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;
2) не коммутативна, т.е. A\B ¹
B\A.
4) дополнение
E – универсальное множество.
-- дополнение
Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.
Основные законы операций над множествами.
Некоторые свойства È
, Ç
похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.
Основные свойства
- AUB=BUA; AÇ B=BÇ
A – переместительный закон объединения и пересечения.
- (АUB)UC = AU(BUC); (AÇ B)Ç
C=AÇ (BÇ C)
– сочетательный закон.
- АUÆ =A, AÇ
Æ =Æ , A \
Æ =A, A \ A=Æ
1,2,3 – есть аналог в алгебре.
3.а) Æ \ A = Æ
- нет аналога.
Æ
; E \ A = ; A \ E=Æ
; AUA=A; AÇ A=A; AUE=E; AÇ
E=A;
5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.
- AÇ (BUC)=(AÇ
B)(AÇ C) – есть аналогичный распределительный
закон Ç относительно U.
Прямые произведения и функции
Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎ
А, bÎ
B.
С=AхВ, если А=В то С=А2.
Прямыми “х” n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an) таких, что a1Î
A1,…, AnÎ
An.
Через теорию множеств введем понятие функции.
Подмножество FÎ
Mx x My называется функцией, если для каждого элемента хÎ
Mx найдется yÎ
Му не более одного.
(x;y)Î
F, y=F(x).
Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:
Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎ
MX соответствует 1 элемент yÎ
MY и обратное справедливо.
Пример: 1) (х,у) в круге
x=2 à
y=2 y=2 à
x=2..4
не взаимнооднозначное соответствие.
2) x = sinx
Rà R
Пусть даны две функции f: Aà
B и g: Bà
C, то функция y:Aà
C называется композицией функций f и g.
Y=f o g o – композиция.
Способы задания функций:
- таблицы, определены для конечных множеств;
- формула;
- графики;
Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.
Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!
Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.
Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.
Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n.
Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел. Множество N2 – счетно.
Доказательство
Разобьем N2 на классы
Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)}
К i-му классу Ni (a+b=i+1
Каждый класс будет содержать i пар.
Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.
Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2. Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk.
Теорема Кантора:
Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.
Доказательство Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.
Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3
b1 ¹
a11, b2 ¹
a22, …
Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].
Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.
Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.
Отношение
Пусть дано RÍ
Mn – n местное отношение на множество М.
Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.
Проведем отношение на множество N:
А) отношение £
выполняется для пар (7,9) (7,7_
Б) (9,7) не выполняется.
Пример отношения на множество R
А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö
21)
Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.
Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.
Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.
Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна
Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.
Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1.
Свойства отношений
1.Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали
единицу
если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное
главная диагональ содержит нули
Пр. отношнний
£
рефлексивное
< антирефлексивное
2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы
сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.
Пр. Если а £
b и b £
a ==> a=b
3. Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC
==> отношение называемое транзитивным.
4.Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично
и транзитивно.
Пр. отношение равенства E 5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,
если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Пр. а) отношение £
u ³
для чисел отношение нестрогого
б) отношение < u > для чисел отношение строгого
Элементы общей алгебры
Операции на множествах
Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W
= {j
1,…, j
m}, т.е. система А = {М1;j
1,…, j
m} называется алгеброй. W
- сигнатура.
Если M1Ì
M и если значения j
( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;j
1,…, j
m} подалгебра A.
Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и
поэтому тип этой алгебры (2;2)
- B=(Б;È
;Ç
) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций
запись aj
b.
1. (aj
b)j
c=aj
(bj
c) – ассоциативная операция
Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно
2. aj
b = bj
a – коммутативная операция
Пр. +,x – коммутат.
–; : – некоммут.
умножение мат A×
B ¹
B×
A – некоммутативно.
3. aj
(bj
c) = (aj
b) j
(aj
c) –дистрибутивность слева
(aj
b)j
c) = (aj
с) j
(bj
c) –дистрибутивность справа.
Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа
но не abc ¹
abac
Гомоморфизм и изоморфизм
Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; j
I) и B=(M; j
I) – одинакового типа.
Пусть отображение Г:Kà
M при условии Г(j
I)= j
I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции j
I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение j
I в В.
Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.
Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1.
Мощности изоморфных алгебр равны.
Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.
|