Главная
Реферат: Билеты по геометрии
Реферат: Билеты по геометрии
Билеты по геометрии
БИЛЕТ 1
А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой
плоскости и точки, не принадлежащие ей.
А2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
А3 Если две различные прямые имеют общую точку, то ч/з них можно
провести плоскость, и притом только одну.
БИЛЕТ 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит
прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Док-во: проведем ч/з а и М плоскость a
, а ч/з М в плоскости a
прямую b|
|
a. Докажем, что b|
|
a единственна.
Допустим, что существует другая прямая b2|
|
a, и проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести плоскость a
2, которая проходит ч/з М и а, след-но, по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она совпадает с a
. По аксиоме о параллельных прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Док-во: Пусть a
-плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а1 - прямая в плоскости a
,параллельная прямой а.
Проведем плоскость a
1 ч/з прямые а и а1.
Она отлична от a
, т.к. прямая а не лежит в плоскости a
. Плоскости a
и a
1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость a
, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a
, а значит, параллельна плоскости a
. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Док-во: Рассмотрим две плоскости a
и b
. В плоскости a
лежат пересекающиеся в т.М прямые a и b, а в b
- прямые а1 и b1, причем а|
|
а1 и b|
|
b1.
Докажем, что плоскоскоти a
и b
не параллельны. Тогда они перес. по прямой с. Мы получили, что плоскость a
проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости b
, и пересекает плоскость b
по прямой с. Отсюда следует, что а|
|
с.
Но плоскость a
проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости b
. Поэтому b |
|
с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, |
|
с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только
БИЛЕТ 5
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости a
и b
пересекаются с плоскостью j
. Докажем, что а|
|
b.
Эти прямые лежат в одной плоскости (j
) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. a
и b
имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. a
|
|
b
. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а|
|
b.
2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H
БИЛЕТ 6
Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.
Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями a
и b
. Докажем, АВ=СD. Плоскость j
, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями a
и b
по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м
Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.
Sп.п.=2p
R(H+R)
БИЛЕТ 7
Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые
отрезки и прямые не параллельны прямой L.
10 Проекция прямой есть прямая. 20 Проекция отрезка есть отрезок.
30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или
отрезки, принадлеж. одной прямой.
40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.
Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.
БИЛЕТ 8
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
БИЛЕТ 9
ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной Док-во: AH - перпенд. к плоскости a
, AM - наклонная, а – прямая проведенная в плоск. a
ч/з точку M перпенд к проекцииHM наклонной.
Рассмотрим плоск. AMH. Прямая а^
этой плоскости, т.к. она ^
к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след. что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности а^
AM. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 10
ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость a
, такую, что а^
a
. Докажем, что и а1^
a
.
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости a
.
Так как а^
a
, то а^
х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости a
, т.е. а1^
a
. Ч.Т.Д.
Vпаралл-да=abc=Sосн.*H
БИЛЕТ 12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.
ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную
плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Док-во: Рассмотрим плоскости a
и b
такие, что плоскость a
проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости b
и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что a
^
b
. Плоскости a
и b
пересекаются по прямой АС, причем АВ^
АС, Т.к. по усл. АВ^
b
, и, значит, прямая АВ^
к любой прямой, лежащей в плоскости b
.
Проведем в плоскости b
прямую АD,^
АС. Тогда Ð
BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей a
и b
. Но Ð
BAD=900 (т.к. AB^
b
). След-но, угол м/у плоскостями a
и b
равен 900, т.е. a
^
b
. Ч.Т.Д.
Sбок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)
БИЛЕТ 11
ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны. Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости a
. Докажем, что а½
½
b.
Через какую-нибудь точку М прямой b
проведем прямую b
1, параллельную прямой a
. Докажем, что прямая b
1 совпадает с прямой b
. Тем самым будет доказано, что a
½
½
b
. Допустим, что прямые b
и b
1 не совпадают. Тогда в плоскости b
, содержащей прямые b
и b
1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c
, по которой пересекаются плоскости a
и b
. Но это невозможно, след-но, a
½
½
b
. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 13
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми. Sполн=Sбок+2Sосн ; Sбок=P*H(ребро)
БИЛЕТ 14
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной. ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, Sбок=P*h. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 15
Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1, и DD1 параллельны.
Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA1..D1.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.
ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1..D1. Т.к. A1D1½
½
BC и
A1D1=BC, то A1D1CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.
БИЛЕТ 16
ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1. Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то AB½
½
DC и AA1½
½
DD1. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск. следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.
Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и Ð
м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв. равны двум смежным сторонам у Ð
м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны
БИЛЕТ 17
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Док-во: Докажем, что AC12=AB2+AD2+AA12
Так как ребро CC1 перпендикулярно к основанию ABCD, то Ð
ACC1-прямой.
Из прямоугольного треугольника ACC1 по теореме Пифагора получаем AC12=AC2+CC12.
Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того, CC1=AA1.
След-но AC12=AB2+AD2+AA12 Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 18
Рассмотрим многоугольник A1A2..An и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1A2,PA2A3,...,PAnA1.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2..An и n треугольников, называется пирамидой Многоугольник A1A2..An называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2, ..., Pan - ее боковыми ребрами. ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду. Док-во: S-вершина пирамид A - верш.основания и A1 - точка пересечения секущей плоскости с боковым ребр. SA. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэф. гомотет. k=SA1/SA
При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1, т.е. в секущую плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 19
ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 20
ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму ABCA1B1C1 с объемом V и высотой h. Проведем такую высоту треугольника ABC отрез.BD, которая разделяет этот треуг. на два треуг.
Плоскость BB1D разделяет данную призму на две приз., основаниями которых явл. прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны
Sabdh и Sbdch. V=V1+V2, т.е. V=Sabdh+Sbdch=(Sabd+Sbdc)h. Таким обр., V=Sabch
2) Докажем теорему для произвольной призмы с высотой h и площ. основания S. Такую призму можно разбить на прямые треуг. призмы с высотой h.
Выразим объем каждой приз. по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 21
За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.
Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2p
rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты
h получается формула Sбок=2prh
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
БИЛЕТ 22
ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Док-во: Рассмотрим конус с объемом V. Произвольн. сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси Ox, является кругом с центром в т.M1 пересечения этой плоскости с осью Ox.
Обозначим радиус этого круга ч/з R1, а площадь сечения ч/з S(x), где x- абсцисса точки M1. Из подобия прямоугольных треугольников OM1A1 и OMA следует, что OM1/OM=R1/R, или x/h=R1/R, откуда R1=xR/h.
Так как S(x)=p
R12, то S(x)=p
R2x2/h2.
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:
Площадь S основания конуса равна p
R2, поэтому
V=1/3Sh Ч.Т..Д.
|