|
Научно-образовательный портал
2FJ.RU |
|
|
Главная
Лабораторная: Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток (WinWord&Pascal)
Лабораторная: Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток (WinWord&Pascal)
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.
КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра прикладной и высшей математики
Лабораторная работа № 43
на тему:
Решение смешанной задачи для уравнения
гиперболического типа методом сеток
Группа М-2136
Выполнил студент _______________________
Проверил преподаватель Воронова Лилия Ивановна
Курган 1998
Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( ( 2
u/ ( t2) = c 2 * ( ( 2u/ ( x2) (1). Задача состоит в отыскании
функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t (
T, начальным условиям u(x,0) = f(x), ( u(x,0)/ ( t = g(x) , 0 ( x ( a
и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.
Так как замена переменных t ( ct приводит уравнение (1) к виду ( ( 2
u/ ( t2) = ( ( 2u/ ( x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.
Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D =
0 ( x ( a, 0 ( t ( T сетку xi = ih, i=0,1 ... n , a = h *
n, tj = j* ((( , j = 0,1 ... , m, ( m = T и аппроксимируем уравнение
(1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.
t
T
j+1
j
j-1
0 i-1 i i+1
Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные
производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .
ui,j+1 - 2uij + ui,j-1 ui+1,,j - 2uij + ui-1, j
( 2
h2
(4)
Здесь uij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).
Полагая, что ( = ( / h , получаем трехслойную разностную схему
ui,j+1 = 2(1- ( 2 )ui,j + ( 2 (ui+1,j- ui-1,j) - ui,j-1 , i = 1,2
... n. (5)
Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные
условия, т.е. ( 1(t) ( 0, ( 2(t) ( 0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0,
unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных
слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном
виде выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев.
Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui,j
решения u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m . Алгоритм
решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j =
2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев
( j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0)
решение известно из начального условия ui0 = f(xi).
Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе
принят простейший способ, состоящий в том, что если положить ( u(x,0)/
( t ( ( u( x, ( ) - u(x,0) )/ ( (6) , то ui1=ui0+ + ( (xi),
i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно
применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается
пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).
Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( ( +h2).
Невысокий порядок аппроксимации по ( объясняется использованием слишком
грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).
Схема устойчива, если выполнено условие Куранта ( < h. Это означает,
что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на
первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому
новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает
равномерной сходимостью, т.е. при h ( 0 решение разностной задачи
равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.
Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h в
направлении x , появляется ограничение на величину шага ( по
переменной t . Если необходимо произвести вычисление для большого
значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов по
переменной t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных
схем.
Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения
сетки.
Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной
схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная Subroutine GIP3
Begn ... End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по
значениям решения с двух предыдущих слоев.
Входные параметры :
hx - шаг сетки h по переменной х;
ht - шаг сетки ( по переменной t;
k - количество узлов сетки по x, a = hn;
u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на (
j - 1 ) временном слое, j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на j
- м временном слое, j = 1, 2, ... ;
u3 - рабочий массив из k действительных чисел.
Выходные параметры :
u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из j
- м временном слое, j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из (
j +1) - м временном слое, j = 1, 2, ... .
К части программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin ... End
происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе
элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам
массива u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам
(6). При выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение
решения на новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на
предыдущем слое.
Порядок работы программы:
1) описание массивов u1, u2, u3;
2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая условие
Куранта;
3) присвоение начального значения решения элементам массива и
вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое;
4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м
слое ( k ( 2 ).
Пример:
1
0.5 0.5
Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными
концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные
скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с
шагом ( по t, равным 0.05, провести вычисления для 16 временных
слоев с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет
вид
( ( 2 u/ ( t2) = ( ( 2 u/ ( x 2) , x ( [ 0 , 1 ] , t ( [
0 , T ] ,
u ( x , 0 ) = f (x) , x ( [ 0 , a ], ( u(x,0)/ ( t = g(x) , x
( [ 0 , a ],
u ( 0 , t ) = 0, u ( 1 , t ) = 0, t ( [ 0 , 0.8 ],
( 2x , x ( [ 0 , 0.5 ] ,
f(x) = ( g( x ) = 0
( 2 - 2x , x ( [ 0.5 , 1 ] ,
Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по t.
Программа, и результаты вычисления приведены далее.
|
|
|
|