Научно-образовательный портал |
|
|
|
|
 |
 |
Главная
Курсовая: Решение нелинейного уравнения методом касательныхКурсовая: Решение нелинейного уравнения методом касательныхПензенский приборостроительный колледжна тему: Метод касательных решения нелинейных уравнений Выполнил: Ст-т 22п группы ЛЯПИН Р.Н. Проверила: ______________ Ковылкино – 1999 г. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ студент Ляпин Р.Н. группа 22п Тема: "Метод касательных решения нелинейных уравнений". Изучить теоретический материал по заданной теме. Составить блок схему алгоритма решения задачи . Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде. Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных. Определить корни уравнения х3 + 0,1 * х2 + 0,4 * х – 1,2 = 0 аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,000001 методом касательных Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г. Исходные данные для исследования: научная и техническая литература. Руководитель курсовой работы: Кривозубова С.А. Задание принял к исполнению: Ляпин Р.Н. РЕФЕРАТ Курсовая работа содержит: страниц, 1 график, 5 источников. Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение. Объект исследования: Корни нелинейного уравнения. Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения. Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме. Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0 Область применения: в работе инженера. СОДЕРЖАНИЕ стр. ВВЕДЕНИЕ........................................ 5 1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона).................... 7 2. Решение нелинейного уравнения аналитически .. 9 3. Блок схема программы ........................ 11 4. Программа на языке PASCAL 7.0 ............... 12 5. Результаты выполнения программы ............. 13 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ ............... 14 ВВЕДЕНИЕ Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов: Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания). Математическая формулировка задачи. Разработка алгоритма решения задачи. Написание программы на языке программирования. Подготовка исходных данных . Ввод программы и исходных данных в ЭВМ. Отладка программы. Тестирование программы. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов. В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов. Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию. Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80. На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач. Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание. В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея. Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения. Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение. Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия. 1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона) Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”. Так как f ’(x) ? 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде : x = x – ( f (x) / f ’(x)) (1) Решая его методом итераций можем записать : xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n)) (2) Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид : y = f (b) + f ’(b) * (x – b) Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ? 0, решаем его относительно x. Получим : x = b – (f (b) /f ‘(b)) Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox : x1 = b – (f (b) – f ’ (b)) Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox : x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1)) Вообще : xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k)) (3) Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона. Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула : |c-x k-1 | ? | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a;b] . На практике проще пользоваться другим правилом : Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и ?????заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| ? ??? влечет выполнение неравенства |c-x k-1| ? ???? В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство : |c-x k-1| ? ???? 2. Решение нелинейного уравнения аналитически Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим : f (x) = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 f ‘ (x) = 3х2 + 0,1х + 0,4 f (–1) = –2,5 < 0 f (0) = –1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0 x - ? -1 0 +1 + ? sign f (x) - - - + + Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ]. Приведем уравнение к виду x = ? (x) , так , чтобы | ? ‘ (x) | ??x ? +1. Так как max | f ’(x) | = f ’(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2. Тогда ? (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5 х3 – 0,05 х2 – 0,2 х + 0,6 = – 0,5 х3 – 0,05 х2 + 0,8 х + 0,6. Пусть х0 = 0 , тогда х n+1 = ? (х n). Вычисления расположим в таблице. n хn х2n х3n ? (хn). f (x) 1 1 1 1 0,85 -0,17363 2 0,85 0,7225 0,614125 0,9368125 0,08465 3 0,9368125 0,87761766 0,822163194 0,89448752 -0,04651 4 0,89448752 0,800107923 0,715686552 0,917741344 0,024288 5 0,917741344 0,842249174 0,772966889 0,905597172 -0,01306 6 0,905597172 0,820106238 0,74268589 0,912129481 0,006923 7 0,912129481 0,83198019 0,758873659 0,908667746 -0,0037 8 0,908667746 0,825677072 0,750266124 0,910517281 0,001968 9 0,910517281 0,829041719 0,754856812 0,909533333 -0,00105 10 0,909533333 0,827250884 0,752412253 0,910057995 0,000559 11 0,910057995 0,828205555 0,753715087 0,909778575 -0,0003 12 0,909778575 0,827697055 0,753021048 0,909927483 0,000159 13 0,909927483 0,827968025 0,753390861 0,909848155 -8,5E-05 14 0,909848155 0,827823665 0,753193834 0,909890424 4,5E-05 15 0,909890424 0,827900583 0,753298812 0,909867904 -2,4E-05 16 0,909867904 0,827859602 0,753242881 0,909879902 1,28E-05 17 0,909879902 0,827881437 0,753272681 0,90987351 -6,8E-06 18 0,90987351 0,827869803 0,753256804 0,909876916 3,63E-06 19 0,909876916 0,827876002 0,753265263 0,909875101 -1,9E-06 20 0,909875101 0,827872699 0,753260756 0,909876068 1,03E-06 График функции y = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 3. Блок схема программы 4. Программа на языке PASCAL 7.0 program metod_kasatel;{Название программы} uses Crt; {Модуль дисплейных функций} var {Блок описаний переменных} xn,xn1,a,b,c,mx,y0,x0 :real; function f1(x1:Real): Real; {Основная функция} begin f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6; end; function f2(x4:Real): Real; {Производная от основной функции} begin f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4–1.2; end; begin {Начало основного тела программы} Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением программы} a:=0;b:=1;c:=0.00000001; Writeln(' От A=',a,' до B=',b); {Вывод на экран} Writeln(' Погрешность с=',c); Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter} xn:=b; xn1:= f1(xn); y0:=f2(b); while ABS(y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня} begin {Тело цикла} xn:=xn1; xn1:=f1(xn); y0:= f2(xn1); {Печать промежуточного результата} Writeln('xn=',xn,' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0); Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter} end; {Конец тела цикла} Writeln('Конечные значения'); {Печать полученного результата} Writeln(' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0); Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter} end. {Конец основного тела программы} 5. Результаты выполнения программы От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00 Погрешность с= 1.0000000000E-08 От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00 Погрешность с= 1.0000000000E-08 xn= 8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f(xn+1)= 8.4649960270E-02 xn= 9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f(xn+1)=-4.6507647892E-02 xn= 8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f(xn+1)= 2.4288343840E-02 xn= 9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f(xn+1)=-1.3064617920E-02 xn= 9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f(xn+1)= 6.9234699658E-03 xn= 9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f(xn+1)=-3.6990702320E-03 xn= 9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f(xn+1)= 1.9678960780E-03 xn= 9.1051728099E-01 xn+1= 9.0953333295E-01 f(xn+1)=-1.0493249720E-03 xn= 9.0953333295E-01 xn+1= 9.1005799543E-01 f(xn+1)= 5.5884091853E-04 xn= 9.1005799543E-01 xn+1= 9.0977857497E-01 f(xn+1)=-2.9781681224E-04 xn= 9.0977857497E-01 xn+1= 9.0992748338E-01 f(xn+1)= 1.5865717614E-04 xn= 9.0992748338E-01 xn+1= 9.0984815480E-01 f(xn+1)=-8.4537703515E-05 xn= 9.0984815480E-01 xn+1= 9.0989042365E-01 f(xn+1)= 4.5040009354E-05 xn= 9.0989042365E-01 xn+1= 9.0986790364E-01 f(xn+1)=-2.3997676180E-05 xn= 9.0986790364E-01 xn+1= 9.0987990248E-01 f(xn+1)= 1.2785800209E-05 xn= 9.0987990248E-01 xn+1= 9.0987350958E-01 f(xn+1)=-6.8122881203E-06 xn= 9.0987350958E-01 xn+1= 9.0987691573E-01 f(xn+1)= 3.6295678001E-06 xn= 9.0987691573E-01 xn+1= 9.0987510095E-01 f(xn+1)=-1.9338276616E-06 xn= 9.0987510095E-01 xn+1= 9.0987606786E-01 f(xn+1)= 1.0303429008E-06 xn= 9.0987606786E-01 xn+1= 9.0987555269E-01 f(xn+1)=-5.4896190704E-07 xn= 9.0987555269E-01 xn+1= 9.0987582717E-01 f(xn+1)= 2.9248803912E-07 xn= 9.0987582717E-01 xn+1= 9.0987568093E-01 f(xn+1)=-1.5583464119E-07 xn= 9.0987568093E-01 xn+1= 9.0987575885E-01 f(xn+1)= 8.3031409304E-08 xn= 9.0987575885E-01 xn+1= 9.0987571733E-01 f(xn+1)=-4.4236003305E-08 xn= 9.0987571733E-01 xn+1= 9.0987573945E-01 f(xn+1)= 2.3572283681E-08 xn= 9.0987573945E-01 xn+1= 9.0987572766E-01 f(xn+1)=-1.2558302842E-08 xn= 9.0987572766E-01 xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09 Конечные значения xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ Алексеев В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. – Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию :Практ .пособие/ –М.: Высш. шк. , 1991. – 400 с. Абрамов С.А., Зима Е.В. – Начала программирования на языке Паскаль. – М.: Наука, 1987. –112 с. Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. – М.: Высш. шк., 1990 – 479 с. Гусев В.А., Мордкович А.Г. – Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с. Марченко А.И., Марченко Л.А. – Программирование в среде Turbo Pascal 7.0 – К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. – 496 с. Печать на дисплей промежуточных х n+1, f(х n+1) Печать на дисплей конечных значений х n+1, f(х n+1) х n:= х n+1; х n+1:=?? (х n); y0:= f(х n+1); y0>c Конец да нет y0:= f(b); х n:= b; a:=0; b:=1; c:=0.00000001; Начало |
 |
 |
|
Новости:ПоискРасширенный поиск |
|
© Все права защищены.