Главная
Доклад: Функция и ее свойства
Доклад: Функция и ее свойства
Русская гимназия
????????
на тему:
???????
????????
|
?????? 10"?" ?????? |
?????????? ?????? |
????????????
??????? ??????????
????? ?.?.
Нижний Новгород
1997 год
Функция и её свойства
- Функция-
зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
- Переменная х-
независимая переменная или аргумент.
- Переменная у-
зависимая переменная
- Значение функции-
значение у, соответствующее заданному значению х.
- Область определения функции-
все значения, которые принимает независимая переменная.
- Область значений функции (множество значений)-
все значения, которые принимает функция.
- Функция является четной-
если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
- Функция является нечетной-
если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
- Возрастающая функция-
если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)
- Убывающая функция-
если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)
- Способы задания функции
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Виды функций и их свойства
- Постоянная функция-
функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к№0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.
- Cвойства функции y=kx:
- Область определения функции- множество всех действительных чисел
- y=kx
- нечетная функция
- При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
- 3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.
- Свойства функции y=kx+b:
- Область определения- множество всех действительных чисел
- Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
- При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая.
- 4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k№0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
- Свойства функции y=k/x:
- Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
- y=k/x-
нечетная функция
- Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+Ґ) и на промежутке (-Ґ;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-Ґ;0) и на промежутке (0;+Ґ).
Графиком функции является гипербола.
- 5)Функция y=x2
Свойства функции y=x2:
- Область определения- вся числовая прямая
- y=x2 -
четная функция
- На промежутке [0;+Ґ) функция возрастает
- На промежутке (-Ґ;0] функция убывает
Графиком функции является парабола.
6)Функция y=x3
Свойства функции y=x3:
Область определения- вся числовая прямая
y=x3 -нечетная функция
Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем "теснее прижимаются" к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
|
|
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
|
|
|
Пусть n- четное число, например n=2.
|
Свойства функции y=x-2:
Функция определена при всех x№0
y=x-2 - четная функция
Функция убывает на (0;+Ґ) и возрастает на (-Ґ;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция y=Цх
Свойства функции y=Цх:
Область определения - луч [0;+Ґ).
Функция y=Цх - общего вида
Функция возрастает на луче [0;+Ґ).
10)Функция y=3Цх
Свойства функции y=3Цх:
Область определения- вся числовая прямая
Функция y=3Цх нечетна.
Функция возрастает на всей числовой прямой.
11)Функция y=nЦх
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Цх. При нечетном n функция y=nЦх обладает теми же свойствами, что и функция y=3Цх.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr:
Область определения- луч [0;+Ґ).
Функция общего вида
Функция возрастает на [0;+Ґ).
рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0;+Ґ).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr , где 0<r<1
- 13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь.
- Свойства функции y=x-r:
- Обл. определения -промежуток (0;+Ґ)
- Функция общего вида
- Функция убывает на (0;+Ґ)
14)Обратная функция
- Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.
|
|
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
|
|
|
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
|
15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
|
|
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией. |
|