Научно-образовательный портал
2FJ.RU

Доклад: Элементарные конфортные отображения

Доклад: Элементарные конфортные отображения

Элементарные конфортные отображения

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек
и
. Если задан закон
, ставящий в соответствие каждому
точку (или точки)
, то говорят, что на множестве
задана функция комплексной переменной со значениями в множестве
. Обозначают это следующим образом:
. (Часто говорят также, что
отображает множество
в множество
.)

Задание функции
эквивалентно заданию двух действительных функций
и тогда
, где
,
. Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.

1.

- линейная функция. Определена при всех
. Отображает полную комплексную плоскость
на полную комплексную плоскость
. Функция
и обратная ей
- однозначны. Функция
поворачивает плоскость
на угол, равный
, растягивает (сжимает) ее в
раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину
. Непрерывна на всей комплексной плоскости.

2.
. Определена на всей комплексной плоскости, причем
,
. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки
. Отображает полную комплексную плоскость
на полную комплексную плоскость
, причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3.
- показательная функция. По определению
, т.е.
,
,
. Из определения вытекают формулы Эйлера:

;

;

;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.
периодична с периодом
. Отображает каждую полосу, параллельную оси
, шириной

в плоскости
в полную комплексную плоскость
. Из свойств
отметим простейшие:
,

4.
- логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению:
.
Выражение
называется главным значением
, так что
. Определен для всех комплексных чисел, кроме
.
- бесконечно-значная функция, обратная к
.
,

5.

- общая показательная функция. По определению,
. Определена для всех
, ее главное значение
, бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функции
;
;
;
По определению,
;
;

;

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:

,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел:
,
,
,
,

Решение. По определению,
,
,
; если
, то очевидно,
,
,

,
,

,
,
,

,
,
,

Найти суммы:

1)

2) sinx+sin2x+...+sinnx

Решение. Пусть:
, а

.

Умножим вторую строчку на
, сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:

;

Преобразуя, получим:

,

3. Доказать, что: 1)
2)

3)
4)

Доказательство:

1) По определению,

2)

3)
;

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1)
; 2)
; 3)
;

Решение:
и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

,
,
,

Напомним, что

2)

,
,

3)

,
,

,
.

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:
;
;

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

;
;
;
;

;

Вычислить: 1)
; 3)
; 5)
;

1. 
   ; 4)
   ; 6)
   ;

Решение. По определению,
,

1)
,
,
,

1. 
   ,
   ,
   

1. 
   ,
   ,
   ,
   

4)
,
,
,

5)
,
,
,

6)
,
,
,

Найти все значения следующих степеней:

1)
; 2)
; 3)
; 4)
;

Решение. Выражение
для любых комплексных a и
определяются формулой

1)

2)

3)

4)
.

8. Доказать следующие равенства:

1)
;

2)
;

3)

Доказательство:

1)
, если
, или
, откуда
, или
.

Решив это уравнение, получим
, т.е.
и

1. 
   , если
   , откуда
   , или
   

,

3)
, если
, откуда
, или

.

Отсюда
, следовательно,